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dans le sens de la propagation des ondes; R^ ï® rayon initial du tuyau; R le 

 rayon de la section d'abscisse x à l'instant t; u, w les composantes au 

 même instant de la vitesse en un point M d'abscisse a? et distant de r de Ox, 

 suivant Ox et suivant le rayon extérieur de M. L'onde de Weber produit, 

 au moment de son passage dans une section, des vitesses presque iden- 

 tiques, en sorte que u varie peu avec r; de plus, sa longévité marque le 

 peu d'influence des frottements. 



Aux équations d'Euler et d'incompressibilité 



/ N dp , dp , ôa â(irr) 



il faut joindre une double condition limite : i° à la surface interne du tube, 



n 2 p> 2 



pour r = R, p doit se réduire à p^ = a -h k — nj—^' ^ étant la pression 



interne initiale et k un coefficient constant fourni par la théorie de l'élasti- 

 cité et dont M. Boussinesq a récemment donné (Comptes rendus, lo juillet 

 1905) l'expression la plus générale pour un tube dont la substance présen- 

 terait un axe d'isotropie de direction O^; 2° si, pour r= R, ll = u^, \v = (ï',, 

 dR dR 



Soit U la vitesse moyenne dans une section donnée : on obtient 



/AN • àR^ âiR^V) 



tandis que les premières équations (i) donnent successivement 



f\2 PJ2 /^l' 



/o, A- rJR2 à r"" , j du du 1 du f' du , 



^ ^ pH- (y^ dx J dt dx r dr J^ dx 



Première approximation. — Remplaçons les équations (A) et (B) par 



/, ^ ^R- ^.d\} ,,, \ I- àR- f)Li 



(A,) -^+Rô^-=o, (BO — — -H^=o; 



cela revient à négliger des termes du second ordre par rapport à la vitesse 

 longitudinale, à la variation du ravon; à tenir compte de la lente variation 

 de n avec r, etc. Supposons l'origine des x placée de manière que, pour 

 ^ = 0, les ondes n'aient pas encore envahi les sections à abscisses positives. 



