SÉANCE DU 2G DÉCEMBRE 1900. 12! I 



Le problème de Christoffel peut être généralisé comme il suit : 

 Déterminer de la manière lapins générale un couple de surf aces ayant même 



représen talion spherique de leurs lignes de courbure, la correspondance ainsi 



établie entre ces deux surfaces étant telle que les trajectoires isogonales de leurs 



lignes de courbure se correspondent. 



Les coordonnées {x,y,z.), {x,,y,,z.,) de deux points correspondants, 



exprimées en fonction des paramètres des lignes de courbure, satisfont au 



système 



du Ou' ôv àr 



dans lequel k désigne une constante et 1 une fonction convenablement 

 choisie. Les éléments linéaires des deux surfaces sont donnés par les 

 formules 



2Â- 



ds'~K'^^ du' 4- A' - ^A'^ ds^^i''-'' du' + k' 1' 'dv\ 



Leurs rayons de courbure principaux sont liés par la relation 



R _ /Ri 

 R' ~ R', ' 



Si l'on fait Â = -i, on retrouve les formules relatives aux surfaces 

 isothermiques. 



La question qui vient d'être traitée suggère la suivante : 



Déterminer de la manière la plus générale une enveloppe de sphères à deux 

 paramétres de telle manière que ses deux nappes se correspondent avec conser- 

 vation des lignes de courlmre et de leurs trajectoires isogonales. 



Pour résoudre ce problème, nous appliquerons nos méthodes de Géo- 

 métrie anallagmatique intrinsèque {voir, dans les Comptes rendus, nos 

 Notes des 5 juin et 3i juillet .qoS). H s'agit d'intégrer les formule^ (A) 

 de notre Note du 3i juillet, auxquelles on joindra les équations A, _ XA, 

 C, = k\C, dans lesquelles k désigne une constante et \ une fonction a 



déterminer. 



Les éléments linéaires des deux nappes de l'enveloppe sont donnes par 



les formules 



ds' =-- M {\ ^ du- H- -^ dv' ) , ds\ = U . (>^ ^ du^ + k' X^ dv^- ) , 



dans lesquelles M et M, sont des facteurs inconnus. 



