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Les vitesses r et r, ont pour expressions 



A -T- 5 / 1 = r A -T— 



I — /.• ' dv ' I — /.■ ' du 



et les inconnues q^ /?,, X satisfont au système 



àp\ ùq Or di\ I / 7 , 



Ce problème, comme le précédent, dépend d'une équation aux dérivées 

 partielles du quatrième ordre. 



Les â\. des sphères principales des deux nappes de l'enveloppe satisfont à 



la relation 



A _ /a, 



Si ^ = I , les deux nappes sont inverses l'une de l'autre (alors X = const.); 

 si ^ = — I, ce sont des surfaces isothermiques et l'on retombe sur le pro- 

 blème résolu par M. Darboux, en 1899, dansles Comptes rendus (voir aussi, 

 dans les Comptes rendus, notre Note du 4 septembre 1905). 



Il nous reste à examiner une question intéressante. Une des nappes de 

 l'enveloppe, 2 par exemple, peut-elle être une sphère? Il convient de 

 répondre par l'affirmative. Les vitesses q, p^ ont alors pour expressions, 

 jn désignant une constante, 



i_ /, 



q^m\ '"'^, p^^^ mV~''. 



Quant à la fonction \, elle satisfait à l'équation 



ov \ dv j du\ du) X 2 . 



La sphère mobile est la sphère anharmonique de paramétre k de la nappe 2, 

 de son enveloppe. J'appelle sphère anharmonique de paramètre k d'une sur- 

 face, en un point M de celle-ci, la sphère qui est tangente à la surface en ce 

 point et dont le centre est un point C,,. tel qu'on ait (M, C^, C, G) = k, 

 C et C désignant les centres de courbure principaux en M. Cette sphère est 

 conservée dans l'inversion. 



La surface l^ doit être considérée comme une généralisation de la sur- 

 face de M. Thybaut ; on retrouve cette dernière en faisant k = — 1, l'équa- 

 tion ci-dessus se réduit alors à celle des surfaces minima. 



