SÉANCE DU 26 DÉCEMBRE igoS. 121 3 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sii7' quelques généralisations du théorème de 

 M. Picard. Note de M. C. Carathéodory, présentée par M. Emile 

 Picard. 



Le théorème de M. Picard qui a trait au nombre de valeurs qu'une fonc- 

 tion entière peut ne pas atteindre, a reçu de M. E. Landau une extension 

 fort remarquable ('). Les résultats de ce dernier auteur peuvent être géné- 

 ralisés de la façon suivante : 



Soit 



(i) y ■=f{x) ^= Uf^-^ a^x + a.,x' -\~. . . 



une série de puissances représentant aux environs de l'origine une fonction 

 qui ne possède pas d'autres singularités que des pôles à l'intérieur d'un 

 cercle de rayon i. Soient a, p, y trois nombres complexes quelconques dif- 

 férents de «e et m, n, p trois entiers positifs tels que l'inégalité 



I I I ^ 



\ h -<^ I 



m n p 



soit vérifiée. Nous supposerons, en outre, que les fondions (j — a)'", 



1 i 



{y ~ ^y ^^ ( J ~" ïX ^^^^ régulières aux environs de toute valeur de x dont 

 le module est inférieur à l'unité et à laquelle correspond une valeur finie 

 de y. 



Je dis que, sous ces conditions, la valeur absolue du coefficient a^ sera au 

 plus égale à une quantité, qui dépend des seules grandeurs «q, a, [3, y, rn^ 

 iiy p et que nous allons déterminer. 



Considérons à cet effet, d'une part, dans un plan w, un triangle curviligne A'B'C 



dont les côtés sont des arcs de cercle et les angles au sommet respectivement — ■■> —, -; 



^ ^ m n /r 



d'autre part, la portion ï du plan des y contenant «o, qui est limitée par le cercle pas- 

 sant par a, p et -(. Faisons la représentation conforme de ces figures l'une sur l'autre; 

 il sera toujours possible, en remplaçant au besoin A'B'C par son symétrique, de faire 

 correspondre les points A', B', G' respectivement aux. points a, [3 et y. Au point cCq 

 correspondra alors un point O' du triangle A'B'C; les prolongements des côtés de ce 



( ') Ueber eine Vevallgemeinerung des Picard' sclien Satzes {Sitzuagsber. d. Berl. 

 Akad., t. XXXVIII, .904, p. 11 18). 



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