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triangle sont d'ailleurs coupés orthogonalement par un cercle réel D. On peut donc, 

 au moyen d'une transformation par rayons vecteurs réciproques et d'un rabattement, 

 ramener le point 0' à l'origine des coordonnées et faire coïncider le cercle D avec le 

 cercle de rayon i concentrique à celte origine. La représentation conforme de la por- 

 tion T du plan des y sur le triangle curviligne AHG dans sa nouvelle position sera 

 réalisée par une fonction w{f) quotient de deux fonctions hypergéométriques dont 

 l'étude a été faite par M. Sclnvarz (i). Une branche de cette fonction w{y) s'annule 

 pour y = «0 et possède en ce point une dérivée w' (a^) finie et différente de zéro. 



On voit maintenant facilement que la fonction (V'[/(.r)] est régulière pour toutes 

 les valeurs de |-^I = i et que son module est plus petit que l'unité. Comme on a d'ail- 

 leurs w[f{o)] = (P'(rto) =r o, la fonction —^ — - — - sera également régulière pour les 



mêmes valeurs de œ et, le maximum de 



.r[/(.r)] 



n'étant atteint que sur la circon- 



férence pour laquelle | .r | r=: i et | '■vf{.r) | 5 i , on pourra poser d'une façon générale 

 (2) \^v[/{ao)^\i\x\. 



On tire de cette dernière inégalité 



dw 

 dx 



U''(rto)«l 1^', 



et, par suite, 



(3) 



'»^ («o) 



Soit v{x') la fonction inverse de i''(y) ; la fonction r 



> £ >■ G satisfait à toutes 



les conditions imposées à f{x). La dérivée de cette dernière fonction pour x-=zo est 



5 d'où l'on conclut que la limite (3) est vraiment la 



d'ailleurs égale à 



S^ (l+£)U''(«o) 



limite supérieure de [ a^ [. 



La condition que nous avions imposée à a^ d'être différent de a, [3, y peut être levée. 

 Soit, par exemple, aj^=a; la série (t) prendra alors la forme 



7 = 2 + a,„ X'" -+- «/„+, .r'«+' 4- . . . , 

 et l'on aura, en suivant une marche analogue à celle du cas général, 



Ijna 



Les valeurs particulières y. = o, ^ = i, y = co, m = n = p = y:^ nous 

 ramènent au problème étudié par M. Landau. Dans ce cas, /{jc) devra 



(') Gesammelte Abhandlungen, t. II, p. 211. — Cf. Picard, Cours d'Analyse, t. III, 

 Ghap. XIII. 



