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une infinité d'intégrales d'une autre équation 



et réciproquement. On obtient sans difficulté cette dernière équation en 

 résolvant le système (i) par rapport à ^ et ^ et en écrivant que les expres- 

 sions trouvées satisfont à la condition d'intégrabilité, mais V(ûc,y,z^,p^,(| ^) 

 ne laisse pas d'avoir une forme assez compliquée. 



On peut disposer des fonctions a, p, \, \j., M, N de telle sorte que (2) se 

 réduise à une équation linéaire. Si la transformation considérée est définie 

 par les équations 



^2 6 



z-p^ + izpz^ 

 z-q,-^ -^.zqz, 



rMx.y), 



2 dx dy 



,(a^.r) 



I (^0 



0(a?,y) et (i)(a7, y') satisfaisant à la condition 



(3) 



56 (X, y) 



dy 



,-e(^, y) 



l'équation (2) s'écrit 





I ^0 



dx 



[w(^,j)e^<-^'^)J = 0, 



"^2 ^./'+"(^'r)- = 0. 



Jusqu'ici je n'ai pas pu obtenir sans aucun signe de quadrature les 

 expressions de toutes les fonctions de x et de y qui satisfont à l'égalité (3), 

 mais on aperçoit aisément des classes assez étendues d'équations linéaires 

 auxquelles s'applique la transformation précédente. En particulier, on 

 peut supposer 0(^, j) nulle, co(^-, y) étant une fonction de la seule 

 variable x -\- y. La transformation 



z''p,+ izpz, = p' 

 z-q, + 'izqz, = ^2 



(ii(x -h y)z- 



permet alors de passer de l'équation à invariants égaux 



(4) s-hoi(x-{-y)z = o 



