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2. J'ai, autrefois, effectué l'intégration de l'équation (i), en supposant 

 données les valeurs de l'intégrale sur un segment de l'axe des x à 

 partir de l'origine et sur une droite (ou une courbe) passant par l'origine; 

 j'opérais par approximations successives convenablement dirigées. M. Ha- 

 damard a donné depuis une solution en introduisant une fonction analogue 

 à la fonction adjointe de Riemann (qui ne peut d'ailleurs, en général, être 

 obtenue que par approximations successives) et en généralisant la méthode 

 classique de Riemann relative à l'équation (i). 



M. Goursat s'est proposé le problème plus général de l'intégration de 

 l'équation (i) en se donnant les valeurs de l'intégrale suivant deux droites 

 (ou deux courbes) OA et OB situées dans l'angle xOy. Il généralise la 

 méthode que j'avais suivie dans le cas où OB coïncide avec 0^7. 



3. Je me suis proposé de traiter le problème relatif aux droites OA 

 et OB, que nous pouvons supposer correspondre aux équations j = a?, 

 y =^ ^o; (p <^ i), en partant de l'idée suivante : déterminer sur Ox les 

 valeurs de l'intégrale cherchée au moyen d'une certaine équation fonc- 

 tionnelle. On appliquera pour cela la formule de M. Hadamard rappelée 

 plus haut, en opérant comme si l'intégrale était donnée sur OA et Ox. 

 Ecrivant alors que, sur OB, l'intégrale a les valeurs données, on obtient 

 l'équation fonctionnelle cherchée. Celte équation a la forme 



(2) f(^x)-V{x)f{<^x)+ rKoc,y)f{y)cfy=<^{x). 



Dans celte équation la fonction inconnue est f{oo), qui doit avoir une 

 valeur donnée pour x = o. Les fonctions VÇx), ^(x,y) et (p(^) sont des 

 fonctions connues. La fonction (ij)(x), par la nature même du problème, 

 s'annule pour a? = o et a une dérivée. La fonction PÇx) est essentiellement 

 positive; dans l'intervalle (O, a), où doit rester x, on a 



P(^)<e^^ 



A étant une constante positive, et l'on a P(o) = 1. Le produit 



P(œ)V(^x)...V(i^"x) 



est convergent pour n :^ ce ; soil n Çx) sa valeur. 



4. Il s'agit d'intégrer l'équalion fonctionnelle (2). Nous introduirons 

 un paramètre >. en envisageant l'équation 



^3) /(x) - V(x)/(^x) -f- 1 r^{x, y)f{y) dy = rs^{x) 



