SÉANCE DU l3 MAI I907. lOII 



et cherchant une solution de la forme 



ordonnée suivant les puissances de \. On aura les équations successives 



[f,{x)-V{x)f,{^x) = r^{x\ 



On prendra poury^fo) la valeur donnée, et poury^,(o) la valeur zéro 



On peut aisément avoir ainsi de proche en proche les fonctionsy„(^ ), et 

 l'on établit une inégalité fondamentale relative à /',j(^). Soit, dans l'inter- 

 valle (o, a), 



Al 



|/o(^)|<K, \'l(x,y)\<M, e'-(^<H; 



on aura 



La convergence de la série (f\), pour toute râleur de X, en résulte immé- 

 diatement ; en particulier pour X = 1, on a la solution de l'équation (2). 



Les résultats précédents se déduisent de ce que la première des équa- 

 tions (5) se résout par la série convergente 



f,{x) = ll(x)/,{o) -+- 2 P(^)P(^^) . . . P(r-'x) r^(rx). 



n=i 



5. Il est d'ailleurs aisé d'établir que l'équation fonctionnelle (2) n'a 

 qu'une seule solution. Ceci revient à montrer que l'équation 



/{x) - P(x)/(^x) -i- r\{x, y)f(y) dy = o, 



oi^i l'on suppose /(o) = o, n'est vérifiée que si /(^•) est identiquement 

 nulle. Par un raisonnement analogue au précédent, on conclut, en allant 

 de proche en proche, que, si \f(yX) \ est inférieur à K, on aura 



|/(^)|<K.MH^--^ 

 |/(-^)l<K^ 



1^ 



1.3 (,_p)(i_p^) 



