SÉANCE DU l3 MAI I907. I021 



quantités positives que j'ai indiquées antérieurement ('), on obtient les 

 résultats suivants : 



Quand la suite des c„ est d'ordre moindre que + oc (c'est-à-dire 

 Cn=^k{^)f ^ entier positif assez ^rand et fixe quel que soit n) dans l'une 

 ou l'autre classification, J est un nombre transcendant de Liouville : 1° si 

 r ordre {k, p) de la suite des h„ est plus grand que l'ordre de la suite des c,j, et 

 si {k, p) ^ (3, o) dans la première classification, ou Çk, p) ^ (2, i ) dans la 

 deuxième ; 2° si l'ordre de la suite des b^ est -h oc dans l'une ou l'autre classi- 

 fication . 



En particulier, dans la première classification, la suite des c„ étant 

 d'ordre <C(3, o), J est un nombre de Liouville quand la suite des a^ est 

 d'ordre >(3, o). 



Il y a des extensions au cas où l'ordre de la suite des c,^ est infini. 



Ou peut d'ailleurs montrer qu'il y a d'autres catégories de fractions 

 continues J qui sont des nombres de Liouville et pour lesquelles 

 l'ordre (k, p) de la suite des b,^, plus grand que celui de la suite des c„, 

 est tel que (2, 00 ^ /, p) ^ 2, o) dans la première classification, ou 

 (2, i)^{k, p) ^(1,1) dans la deuxième. 



Dans les cas considérés, la fraction J est forcément convergente. Lors- 

 qu'elle est divergente, on peut choisir les a„ et les 6„, de façon que les 

 deux limites distinctes, vers lesquelles tendent les pseudoréduites (^) 

 d'ordre pair et impair respectivement, soient des nombres transcendants 

 de Liouville. 



II. Lorsque la suite des «< est quasi-périodique, avec «/^i, soit t„ la 

 période du /i'*"™^ système de périodes, laquelle a 'à„ termes, et se présente 

 Â„ fois consécutivement, a„ le nombre des termes de la partie non pério- 

 dique précédant les périodes. Si, pour une infinité de valeurs de n, k,^ est 

 assez grand par rapj^ort à a„, 1,^, b^, Ci Ci = o, i, 2., ..., a„ + 7;„) : 1° J ne 

 peut être qu'un nombre rationnel, quadratique ou transcendant ; 2^ quand 

 on a de plus bj^CjCj_^ (^), J ne peut être qu'w/i nombre quadratique ou 



(^) Introduction à la théorie des nombres transcendants, p. 8, 219 [note(')], 228 

 «t 287. Paris^ Gauthier-Villars; 1906. 



("-) Pour éviter des confusions, j'appelle /J^ewrfo/eWwiV^^ de J les quantités 



J« = «0 + 1 * «1 + . . . + I : ««• 



(^) La suite des c„ étant donnée, on peut toujours trouver, quand on suppose 

 ■bj<CjCj i^ pour tout nombre positif, un développement en fraction coutinue 



