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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un théorème de Heine et un théorème 

 de Borel. Note de M. A. Schœxflies, présentée par M. Appell. 



Les théorèmes dont il est question ici ont été discutés plusieurs fois 

 dans ces Comptes rendus ('). Le théorème de Heine énonce hi continuité 

 uniforme d'une fonction continue dans tous les points d'un ensemble 

 fermé et, d'après le théorème de Borel, si pour chaque point d'un ensemble 

 fermé il y a un domaine entourant ce point, on en peut choisir un nombre 

 fini jouissant de la même propriété; d'ailleurs ce théorème est vrai, que le 

 nombre supposé des domaines soit dénombrable ou non. 



On peut dire que le théorème de Borel fixe le fondement géométrique de 

 la démonstration connue de Heine dans sa forme la plus pure et la plus 

 générale. Cette relation intime qui lie les deux théorèmes et leur condition 

 nécessaire et suffisante ont été constatées pour la première fois, au moins 

 essentiellement, dans le rapport sur la théorie des ensembles publié par m.oi 

 dans le Jahresbericht der deutschen Malhematiker Vereinigung (-). Mais les 

 Notes citées plus haut qui traitent la question ne font aucune allusion à ce 

 rapport; qu'il me soit donc permis de constater ici le fait historique. 



En effet, à la page 5i, en disant que le théorème de Borel (dans sa pre- 

 mière Forme) représente une généralisation du théorème de Heine et en 

 le nommant théorème de Heine-Borel, j'ai donné expression à la relation 

 géométrique des deux théorèmes, et aussi à plusieurs endroits j'ai donné 

 clairement expression à la condition nécessaire et suffisante de ces théo- 

 rèmes, en disant qu'il ne sont vrais que pour des ensembles fermés (^). 



En profitant de cette occasion j'ajoute une démonstration générale de ce 

 théorème qui me paraît la plus simple possible et vaut également pour tous 

 les ensembles fermés et bornés de n'importe quel R„; la première partie 

 de cette démonstration est tout à fait conforme à celle contenue dans mon 

 rapport (*). 



(*) E. Borel, 4 mai igoS. — E. Lindelof, 2 novembre igoS. — F. Riesz, ^3 jan- 

 vier igoS. — • Voir aussi E. Borel, Contribution à l'analyse arithmétique du con- 

 tinu {Journal de Math., 0^ série, t. IX, igo3, p. SS^). 



C-) Voir t. VIII, '2, igoo. 



(■^) Voir p. 109, I rg, 128-129. 



(*) Voir p. I ig. 



