SÉANCE DU l3 MAI 1907. I023 



de donner ici ma démonstration, dijfiférente de celle de M. Riesz : pour moî 

 le théorème est un cas particulier d'un théorème général sur la conver- 

 gence en moyenne des séries. 



Soit H l'ensemble des fonctions réelles /" d'une variable réelle a; telles 

 que / et /- soient sommables (Lebesgue, Leçons sur l' intégration, p. 1 15) 

 dans un intervalle fini (a, b). Le produit <p^]^ de deux fonctions de 12 est tou- 

 jours sommable et l'on a 



relation connue que l'on peut aussi écrire 



(-) 



(ç + A)=rfr 



1 



ir 





•'dx\ + ( ^-dx 



Définitions. — I. Une suite/,, /o, ... de fonctions appartenant à 9. est 

 dite convergente en moyenne si l'on a 



r'' 



Il m / (/„ — /„)V/.r = o. 



m, nz= X i.' „ 



II. Elle converge en moyenne lyers une fonction f de Q. si l'on a 



nous écrirons alors 1'» équivalence » lim/„~'/, ce qui n'implique pas 

 l'existence d'une limite au sens ordinaire du mot. Chaque fonction de Q. 

 ne différant de / que sur un ensemble de points de mesure nulle (p. 106, 

 loc. cit.) (nous appelons de telles fonctions r>u f ou « essentiellement égales » 

 à/) jouit de la même propriété relative à la suite /„, et inversement. 



Théorème. — Si une suite de fonctions appartenant à 12 converge en 

 moyenne, il existe dans £2 une fonction f vers laquelle elle converge en 

 moyenne. 



Démonstration. — Soil fi, f.^, ... une suite de fonctions de Q. qui converge en 

 moyenne. D'après (1) et (2) les limites 



lim f f„dœz=:Y{x), lim Ç fldx — <d{x) 



existent et définissent des fonctions continues. 0(.r) est monotone; nous montrerons 



