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que F{a:) est à variation bornée et que, de plus, 



(3) limS|F(a7„+ A„ ) — F(^„) [ = o pour \im^/i„=:o, 



en désignant par les (cr„, ^„h- A„) un système fini d'intervalles situés dans (a, b) et 

 sans points intérieurs communs (« = 1, 2, ..; /i„>o). En effet, d'après (i), on a 



(4) [F{x + h) — F{x)Yih[e{a:-hh) — Q{^-)] pour h>o, 

 d'où, en posant ^„=: ul, B{x„ -\- h,i) — 0(^„) = r^,, 



Soit/(a;) le nombre dérivé supérieur à droite de F {x) pour tous les points sur les- 

 quels ce nombre est fini, /(^) =0 pour les autres points (ensemble de mesure nulle). 

 f{jc) et 2r(j7), déduite de la même manière de 0(^), seront sommables (voir Lebesguk), 

 et, puisque, en vertu de (4)/"^:=H7 (sauf pour un ensemble de mesure nulle),/- est 

 sommable,/dans O. Or (3) nous assure {loc. cit., p. i23) que 



' fdxr=zF{x) ou lim / f^dxz^j fdx, 



et certaines transformations, simples mais importantes, des définitions I, II montrent 

 que/„ converge en moyenne vers/. 



Soit dans H un ensemble dénombrable cp, (a?), Ço(^), . . ., et soit 

 I (p,„(p„</^=: o pour m^n, j %da' = 



I . 



Si la série à termes constants non négatifs a'^-hal-h... converge, 

 a, (p, -f- a2<?2 + - • • convergera en moyenne, et le ihéorème démontré 

 prouve l'existence d'une fonction 9 de 12 essentiellement déterminée, pour 

 laquelle 



Or, d'après (i), on peut calculer les a^ par la méthode classique, donc 



(5) a„= / 9©«c^^, 



le théorème énoncé déjà par M. Hiesz est démontré. 



Parmi les solutions o de (5) nous avons signalé une solution principale., ce qui est 

 important pour certaines applications ; pour la recherche des autres solutions, on se 

 servira d'une autre application de noire théorème général : que l'on peut toujours 

 adjoindre •]>,, tj^j, ... telles que «pi, ©,5 • • •» l^n 4'2' • • • soit un ensemble complet. 



