SÉANCE DU l3 MAI I907. 1025 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mélliode générale pour la résolution du pro- 

 blème de Dirichlet. Note de M. S. Berxsteix, présentée par M. Emile 

 Picard. 



1. En publiant en langue russe un Mémoire étendu sur l'intégration des 

 équations aux dérivées partielles du type elliptique, je me permets de 

 résumer ici quelques résultats nouveaux que j'ai obtenus. 



Je mentionnerai d'abord que les séries nor^m aies qui jouent un rôle consi- 

 dérable dans mes recherches peuvent être également employées pour 

 représenter les fonctions dites arbitraires. 



Toute fonction admettant une dérivée première finie est développable en 

 série normale (^absolument et uniformément convergente). Supposons pour 

 fixer les idées y(i) =:/(o) =y'(i) =:y (0)^0, on aura sur le segment Oi 



où A^^ est donnée par la formule 



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2. Mais j'ai hâte de passer au problème de l'intégration des équations 

 du type elliptique. On sait que, d'après la méthode paramétrique, toute la 

 difficulté de ce problème, lorsqu'on se donne les conditions aux limites 

 dites de Dirichlet, est de pouvoir limiter a priori les dérivées successives 

 jusqu'à un certain ordre de la solution (dont on admet l'existence) au 

 moyen des données sur le contour. Dans notre étude actuelle nous suppo- 

 sons la solution elle-même donnée sur le contour, pourtant, les mêmes 

 principes s'appliquant dans les cas les plus généraux, nous croyons utile 

 d'indiquer les trois principes qui donnent un moyen uniforme pour la limi- 

 tation des dérivées successives : 



Bornons-nous, pour fixer les idées, à l'équation 



(1) Ar+2B5 + C/ = D (AC-B-=i), 



où A, B, G, D sont des fonctions analytiques de x, y, p, q (D peut contenir 



également z avec la condition -^7^0). 



G. R., 1907,'!" Semestre. (T. CXLIV, N° 19.) '34 



