I026 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Premier principe. — Si, à l'intérieur d'une certaine région S, la solution z 

 (supposée régulière), ainsi que ses dérivées p et q, est inférieure à un nombre 

 fixe M, il est possible de fixer un nombre M„ tel que les dérivées de z, d'ordre 

 inférieur à n, soient toutes inférieures à M„ en un point quelconque d'une 

 région déterminée quelconque 1 intérieure à S. 



Ce principe indépendant des données sur le contour est une conséquence 

 de considérations analogues à celles que j'ai employées dans ma thèse pour 

 prouver la nature analytique de la solution; il n'y a que cette différence : 

 à la place des normes constantes j'introduis des normes variables qui de- 

 viennent en général infinies sur le contour; je les appelle, pour certaines 

 raisons, normes harmoniques. 



Deuxième principe. — Si, dans l'équation (i), on ne suppose même pas les 

 fonctions A, B, C, D dérivables; mais, si l'on admet que, pour p et q infinis, 

 D ne croît pas plus vite que tes carrés de p et q, on peut limiter p et q sur le 

 contour (^supposé circulaire) dans le cas où la solution z considérée comme 

 fonction de l'arc 6 sur ce contour admet des dérivées des deux premiers 



, dz d-z 



''''^''' m''-ô¥- 



Ce nouveau principe doit, naturellement, être convenablement modifié 

 dans le cas où les données sur le contour sont différentes. Sa démonstra- 

 tion, comme celle du troisième principe, repose sur un changement de 

 fonctions qui permet de modifier à volonté le signe du second membre. 

 En différentiant l'équation (i) par rapport à 6 et en formant l'équation 



en z^ = -^j nous nous trouvons précisément dans les conditions exigées 



par le deuxième principe [pourvu qu'on tienne compte du premier prin- 

 cipe et que l'on admette que p el q soient finies, ce qui aura lieu en parti- 

 culier si, dans l'équation (i), qu'on intègre, D ne croît pas plus vite que 

 p' et ^"]- 



Troisième principe. — En conservant les hypothèses précédentes, mais en 

 admettant en outre l'existence des dérivées premières de A, B, C, D, on peut 

 former une fonction w = "X(/?" -f- q''), où \ est une certaine fonction positive 

 de z [qu'il est inutile d'écrire) telle que w ne peut pas avoir de maximum supé- 

 rieur à un nombre fixe. 



L'application de ce principe est indépendante des données sur le con- 

 tour. Il peut être appliqué à l'équation à laquelle satisfait/?. 



En différentiant successivement on rencontre toujours des équations aux- 

 quelles s'appliquent les deux derniers principes. 



