SÉANCE DU 7 JANVIER 1907. l3 



Si pour chaque point/? d'un ensemble fermé P il y a un domaine entou- 

 rant ce point, il existe aussi une sphère de la même propriété; soit p le 

 rayon de la sphère la plus grande possible de cette qualité. Alors je pré- 

 tends que la limite inférieure des p n'est pas zéro. En effet, si cette limite 

 était zéro, on pourrait choisir des points/?,,/?., •• .,/>v, ••• de telle manière 

 que les rayons p, > p,> . . . > pv- . . convergent vers zéro. Soit /?« un point 

 limite des \p.,\; pour ce point il existe un rayon ?„> o et l'on en tire la 

 conlradiclion bien connue. C'est le même argument qui, pour le cas d'un 

 ensemble linéaire, a été utilisé par M. Lebesgue dans ses Leçons sur l'inté- 

 gration et qui dans sa matière est équivalent au soi-disant principe de De- 

 dekindC). 



Soit S la limite inférieure des p. Dans le R„ où existe l'ensemble P, ima- 

 ginons une division régulière en cubes y dont la diagonale est moindre 

 que ^ S, et un domaine D, par exemple aussi un cube, contenant l'en- 

 semble P et composé par ces cubes y. Soit y' un des cubes y contenant à 

 l'intérieur ou à la surface un ou plusieurs points de P; nous en choisissons 

 un à volonté et construisons la sphère qui lui appartient, Alors le cube y' 

 sera en tous cas intérieur à cette sphère, et, comme le nombre de ces 

 cubes y' est fini, le théorème est démontré. 



Cette démonstration est tout à fait la même, que l'ensemble supposé des 

 domaines soit dénombrable ou non. Car sa première partie s'attache à un 

 ensemble parliel de toutes les sphères choisi convenablement parmi l'en- 

 semble tolal; et évidemment il n'importe que Ton choisisse cet ensemble 

 partiel parmi un ensemble dénombrable ou non. 



MÉCANIQUE. — Sur les turbines à axe flexible. Note (^) de M. L. Lecornu. 



présentée par M. H. Léauté. 



Les turbines à vapeur tournent, comme l'on sait, avec une énorme vi- 

 tesse : les turbines sans détente, telles que celles de Laval, effectuent 

 jusqu'à 5oo tours par seconde. Pour pouvoir donner à un solide une pareille 

 rotation, il est indispensable de prendre des précautions particulières. Le 

 profil méridien doit présenter une forme d'égale résistance à la force cen- 

 trifuge et il faut de plus que le système soit parfaitement équilibré; on 



(^) Page io5. Voir aussi la Note de M. Riesz citée plus haut. 

 (^) Présentée dans la séance du 3i décembre igo6. 



