SÉANCE DU '21 MAI I907. 1098 



M. Goldzieher s'est attaqué à ces deux questions si intéressantes, dont la 

 seconde, en particulier, est fondamentale, puisqu'elle vise la mise en 

 équation du problème proposé elle-même. 



Malheureusement, celte double question est moins simple que le travail 

 de M. Goldzieher ne permettrait de l'espérer. 



Cela tient à ce que Vinégalité 



ne suffit pas au but proposé. 



En ce qui concerne l'analyticité des solutions, le fait est bien connu : il 

 revient à dire que les équations du second ordre à caractéristiques réelles 

 admettent des solutions non analytiques. 



Mais il en est de même en ce qui concerne l'existence des dérivées 

 secondes. Soit, par exemple, 



l=ff(p'-q')dxdy. 



La variation première Si s'annulera toutes les fois que la fonction u sera 

 de la forme 



?^=/(a7+j) + (p(^- j), 



y et çp admettant des dérivées premières, mais non nécessairement des 

 dérivées secondes. 



En un mot, cette variation peut s'annuler sans que la fonction inconnue 

 vérifie l'équation du second ordre correspondante. 



L' objection de du Bois-Reymond est fondée en fait. 



Pour la réfuter, il faut nécessairement admettre, non seulement l'iné- 

 galité (6), mais l'inégalité plus restrictive 



On serait alors conduit, comme on le voit en prenant le cas particulier 

 de Y = p^-irq'^, à généraliser les délicates recherches que l'on doit 

 à M. Coursât sur le théorème fondamental de la théorie des fonctions 

 analytiques. 



L'insuffisance de la condition (è) montre que les difficultés dont 

 a su triompher M. Goursat se retrouvent toutes dans la question actuelle. 



