1094 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Les groupes de transformations continus, 

 infinis, simples. Note de M. E. Cartan, présentée par M. Emile Picard. 



On sait quelle est l'importance des groupes sinnples dans les différentes 

 applications qu'on peut faire de la théorie des groupes de transformations. 

 En particulier, en ce qui concerne l'intégration des systèmes différentiels 

 admettant un groupe de transformation continu G de structure connue ('), 

 cette importance résulte des recherches, déjà anciennes, de S. Lie, et de 

 celles, plus récentes, exposées par M. Vessiot dans un Mémoire couronné 

 par l'Académie des Sciences (-). L'intégration d'un système différentiel 

 donné admettant le groupe G est, en effet, ramenée à celle d'un système 

 résolvant dont la nature peut être quelconque, et à celle d'une suite de 

 systèmes particuliers (systèmes automorphes de M. Vessiot) dont chacun 

 correspond à l'un des groupes simples qui se présentent dans la décompo- 

 sition du groupe G en une série normale de sous-groupes, et dont la 

 nature ne dépend que de la structure du groupe simple considéré. 



En ce qui concerne les groupes simples finis, leur détermination 

 complète résulte des recherches de M. Rilling, confirmées par les miennes; 

 en dehors d'un nombre très restreint de groupes simples particuliers, 

 tous les autres se partiigent en quatre grandes classes, connues d'ailleurs 

 depuis longtemps. En ce qui concerne au contraire les groupes simples 

 infinis, S. Lie en avait indiqué également quatre grandes classes, mais on 

 ne savait s'il en existait d'autres; en l'absence de toute théorie précise sur 

 la structure des groupes inhnis, on ne savait guère comment aborder le 

 problème. Il était même plus compliqué qu'on ne se le figurait générale- 

 ment, car, à l'inverse de ce qui se passe pour les groupes finis, il existe 

 des groupes infinis intransitifs qui ne sont isomorphes à aucun groupe 

 transitif, et, parmi ces groupes intransitifs, il peut en exister de simples. Il 

 ne suffisait donc pas, comme on pouvait l'essayer et comme S. Lie et 

 M. Rowaleski l'ont fait pour /i = 2 , 3 , 4 > 5 » de déterminer tous les groupes 

 infinis primitifs à n variables. 



C'est cependant par cette voie que je suis arrivé à la détermination de 

 tous les types de groupes infinis simples. Il se présente en effet ici cette 



(^) Cette structure est connue si l'on connaît les équations de définition des trans- 

 formations finies du groupe. 



('^) Voir Sai- V intégration des systèmes différentiels, etc. [Acta mathem., 



t. xxviii, 1904, p. 307-349). 



