SÉANCE DU 2 1 MAI I907. lOgS 



circonstance, très favorable, que tous les groupes infinis primitifs à n va- 

 riables appartiennent à six grandes classes seulement; parmi ces six classes 

 quatre fournissent tous les groupes infinis simples transitifs; ce sont les 

 quatre classes dont S. Lie avait signalé l'existence. Voici quelles sont les 

 six classes de groupes infinis primitifs : 



1° Le groupe de toutes les transformations à n variables; 



2° Le groupe des transformations à n variables qui laissent invariants les 

 volumes ; 



3" Le groupe des transformations à n variables qui reproduisent les volumes 

 à un facteur constant prés ; 



[f Le groupe des transformations àin^L\ variables qui laissent invariante 

 V intégrale double 



//' 



5° £e groupe des transformations à '2n^[\ variables qui reproduisent l'inté- 

 grale double précédente à un fadeur constant prés; 



ô° Le groupe de toutes les transformations de contact dans l'espace à 

 n^i dimensions, considéré comme groupe de transformations ponctuelles à 

 in — I variables. 



Les groupes i'', 'i^, 4°, 6° sont simples; le groupe 3° admet le groupe 2° 

 comme sous-groupe invariant; le groupe 5'' admet le groupe 4° comme 

 sous-groupe invariant. 



Les groupes infinis simples qui ne sont isomorphes à aucun groupe tran- 

 sitif ont pu assez facilement être déterminés en partant des résultats pré- 

 cédents. Ils se partagent en deux grandes catégories : 



1° Les groupes simples proprement dits : on les obtient en prenant un groupe 

 simple transitif et en faisant dépendre les éléments arbitraires de la manière la 

 plus générale possible de p variables invariantes par le groupe; un groupe 

 simple transitif fini d'ordre r devient ainsi un groupe simple infini intran- 

 sitif dépendant de r fonctions arbitraires dey» arguments. 



2° Les groupes simples improprement dits; chacun d'eux est isomorphe à un 

 groupe dont les équations ont la forme suivante 



/y» /y rv^ — — /v^ ni^ - — nr* 



u^j -— o</) , O/^ — ^ 2> • • •> '^ a~\ — ^n—K » 



^«, ^^ '^n ~^ J\^ {> ^2 > • • • > ^n— \ )f 



en désignant par f la solution la plus générale d'un certain système d'équa- 

 tions aux dérivées partielles linéaires et homogènes, à coefficients fonctions 

 données de X\^ x^y . . . , ^„_, . 



Dans cette deuxième catégorie le sens du mot simple est un peu étendu, 



