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chaque e^roiipe G de la deuxième catég^orie admet en effet des sous-groupes 

 invariants T (d'ailleurs chacune de ses transformations est invariante pour 

 le groupe). Mais les groupes isomorphes G|T sont isomorphes holoédriques 

 de G. D'ailleurs la considération de ces groupes simples improprement dits 

 est absolument nécessaire si l'on veut éviter les décompositions normales 

 d'un groupe en une série illimitée de sous-groupes. 



Si I on admettait, ce que tous les auteurs qui se sont occupés de cette 

 question semblent avoir fait implicitement, que tout groupe G peut être 

 décomposé en une série normale limitée de sous-groupes 



G, G^, Go, . . ., Gç 



telle que les groupes 



G|G,, G,|G2, ..., G^_JG^, Gq 



soient des groupes simples proprement dits, les résultats énoncés tout à 

 l'heure, joints à ceux des recherches de M. Vessiot, conduiraient à la con- 

 clusion importante suivante (* ) : 



Si un système différentiel admet un groupe G de structure connue, Vintè- 

 gration des systèmes automorplies auxiliaires correspondants se ramène à l'in- 

 tégration d'équations différentielles ordinaires. 



La nécessité de considérer les groLi|)es simples improprement dits oblige 

 de modifier cet énoncé de la manière suivante : 



Les systèmes automorphes qui se présentent dans l'intégration d'un système 

 différentiel donné admettant un groupe G de structure connue s'intègrent au 

 moyen d'équations différentielles ordinaires et, suivant les cas, de systèmes 

 d' équations aux dérivées partielles linéaires à une fonction inconnue d^un cer- 

 tain nombre de variables indépendantes. 



Encore cet énoncé n'est-il certain que si l'on peut trouver pour tout 

 groupe G une décomposition en une série normale limitée de sous-groupes 

 donnant naissance à des groupes simples proprement ou improprement 

 dits. Cette possibilité, quoique vraisemblable, n'a cependant pas encore été 

 démontrée. 



La méthode qui m'a conduit à la détermination des groupes infinis pri- 

 mitifs repose sur les théorèmes fondamentaux relatifs à la structure des 

 groupes infinis (-) et sur l'étude des groupes linéaires et homogènes qui ne 

 laissent invariante aucune multiplicité plane; elle m'a conduit d'ailleurs 



(') E. Vessiot, Acta math., t. XXVIII, 190/4, p. Sog. 



('-) E. Cartan, Sur la structure des groupes infinis {Ann. Ec. norm., 3" série, 

 t. XXI, 1904, p. i53; t. XXII, 1905, p. 219), 



