SÉANCE DU 21 MAI I9O7. IO97 



incidemment à d'autres résultats intéressants dans le détail desquels il 

 m'est impossible d'entrer. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces engendrées par une hélice circulaire. 



Noie de M. Barré. 



3. Plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines. — Le pied 

 de cette distance correspond à une solution de l'équation 



(,) (K.L-Np)|(RL-N,o) + (p^ + li=)M'^^ = o. 



Comme dans toutes les questions du même genre il est évident que toute 

 solution de cette équation ne correspond pas nécessairement à un mi- 

 nimum. Dans l'impossibilité de séparer, en général, analytiquement les 

 solutions correspondant réellement à un minimum, j'adopterai la défini- 

 tion suivante : 



DÉFINITION. — rappelle point central de seconde espèce d' une génératrice 

 tout point de celle-ci dont les coordonnées curvilignes t, (p vérifient l'équa- 

 tion (i). Lorsque la génératrice varie, ces points décrivent les diverses branches 

 de la ligne de striction de seconde espèce de la surface. 



4. Il est intéressant de rechercher dans quel cas les lignes de striction 

 des deux espèces coïncident complètement : on obtient alors le théorème 

 suivant : 



Théorème VII. — Les hélicoides de seconde espèce sont les seules surfaces 

 dont les lignes de striction des deux espèces coïncident entièrement. 



Sur chaque génératrice il y a un point central unique déterminé par la 



relation cp = -^^('). 



Les études qui conduisent à ce théorème mettent en évidence plusieurs 

 séries de surfaces intéressantes; je cite ici celles qui me paraissent les plus 

 importantes : 



a. Surfaces à plan directeur et à pas constant telles que tv = o; dérivent 

 géométriquement de la surface de vis à filet carré en faisant subir à cha- 



(') Voir pour ces notations ma Communication du 29 avril dernier. Cette formule 

 tombe en défaut par les hélicoides ordinaires. On vérifie que les lignes de striction 

 des deux espèces dans ce cas sont indéterminées. On peut convenir de dire qu'elles 

 coïncident. 



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