SÉANCE DU l4 JANVIER 1907. 63 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les points critiques des /onctions inverses. 

 Note de M. A. Hurwitz, présentée par M. Emile Picard. 



Pour pouvoir bien préciser le théorème qui fait l'objet de la présente 

 Note et qui contient comme cas spécial le théorème que j'ai communiqué 

 à l'Académie le 3 décembre dernier, il me faut, en premier lieu, fixer le 

 sens que j'attache à la notion de point critique. Or la définition que j'adop- 

 terai est la suivante : un point z^ est dit point critique (ou singulier) de la 

 fonction analytique /(z), s'il existe une ligne continue L joignant le 

 point Zq au centre a d'un élément 



V(z |a) = Co -f- c, (- — a) -hc.,(z ^ a)- -h. . . 



de la fonction telle que P(z | a) puisse être continuée le long de L jusqu'à 

 chaque point de L, le point r„ excepté (voir C. Jordan, Cours d'Analyse, 

 t. I, n«* 336-352). 



Si l'on admet celte définition, il faut distinguer, pour les. fonctions uni- 

 formes, entre l'ensemble 1 de tous les points critiques d'une telle fonction 

 et l'ensemble 2, de tous les points qui forment la frontière du domaine des 

 points réguliers de la fonction. Les deux ensembles se confondent si 1 con- 

 tient tous les points de son ensemble dérivé 1' ; mais, dans le cas contraire 

 (et ce cas peut bien se présenter), il faut compléter 1 par les points de 1* 

 pour obtenir l'ensemble 2,. (D'après cela, le n** 352, loc. cit., doit subir 

 une légère modification.) 



Maintenant, soit s=f(z) une fonction analytique uniforme absolu- 

 ment quelconque. 



Désignons par D l'ensemble des points z à distance finie qui sont des 

 points réguliers ou des pôles de /(s) et par <> l'ensemble des points for- 

 mant la frontière de D. Posons 



z(x) = o(x)-i-i^{r), 



(P(t) et '\>('c) étant des fonctions réelles de la variable réelle t, continues 

 pour To<T<^T, et satisfaisant aux conditions suivantes : 



i** Pour Tq^t •< r, le point ^(t) appartient au domaine D ; 



2<^ Si l'on a To<t'<t"<... <t("'<... et LimT^"'=:T,, chaque point 



