64 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



limite de l'ensemble formé par les points 



(P) ^(t'), 5(tO, ..., z.(r^"^) 



est un point de g; 



3° La valeur limite Tjimy[5(T)] = s„ est 6nie et déterminée. 



Pour abréger, je désignerai par le symbole Limy'(:;) toute valeur So qui 



peut être obtenue de cette manière. Cela posé, on a le théorème suivant : 

 Les points critiques à distance Jînie de la fonction inverse de s =/(^z) sont 

 les points 



s^=^\Àvaf{z) et s=/(z:,), 



rs 



z^ prenant toutes les valeurs des racines de V équation f (^z) = o qui appar- 

 tiennent au domaine D. 



L'application de ce théorème est beaucoup facilitée par la remarque sui- 

 vante. Supposons que les fonctions çp(T) et 4'(f) satisfassent aux condi- 

 tions 1° et 2°. Alors on démontre sans difficulté qu'il n'y a que deux cas 

 qui peuvent se présenter : ou tous les ensembles tels que (P) n'ont qu'un 

 seul et même point limite, ou il y a une infinité de points étant des points 

 limites d'ensemble (P) et ces points forment eux-mêmes un ensemble par- 

 fait d'un seul tenant. 



Il s'ensuit que c'est seulement le premier cas qui peut intervenir pour 

 une fonction y (z) donnée, s'il est impossible de former un ensemble par- 

 fait d'un seul tenant dont tous les points font partie de l'ensemble «?. Celte 

 impossibilité se présente en particulier si la fonction /"(s) n'a qu'un nombre 

 limité de points singuliers essentiels. Si l'on suppose que la fonction /(s) 

 n'admet que le seul point singulier essentiel 2 = ooon revient au théorème 

 de ma dernière Note. 



Il est aisé de former des exemples variés pour notre théorème ; je me 



contente d'en citer un des plus simples. Soit s =:f(^z) ■= ae' 4- be"" . L'en- 

 semble G est évidemment formé par les deux points z = o et z = ce et Von 

 voit de suite que le symbole Lim f{z) n'a que les deux valeurs a et b. 



Donc, la fonction inverse admet, à part les points correspondant aux 



1 



r — 



racines de l'équation ae'^ — zi^ = o> 1^^ points critiques 5 = a et j = 6 et il 

 n'y en a pas d'autres à distance finie. 



En terminant, je remarque, relativement à l'exemple s = i c'^^dz consi- 



•'o 



