SÉANCE DU l4 JANVIER 1907. 65 



déré dans ma dernière Note, que Ton peut en effet démontrer (comme je 

 l'ai présumé) que les seuls points critiques de la fonction inverse de celte 



intégrale sont les points s = ^sJt:, s =: — ^s/i: et s =^ ce. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les points critiques d'une classe de fonctions. 

 Note de M. Georges Rémoundos, présentée par M. Emile Picard. 



1. M. A. Hurwitz a récemment publié dans les Comptes rendus une Note 

 intéressante Sur les points critiques des fonctions inverses (3 décembre 1906). 

 Cette publication m'oblige de hâter celle de quelques résultats que j'avais 

 obtenus, il y a longtemps, dans la même direction que ceux de M. Hurwitz. 

 M. Hurwitz a étudié les points critiques des fonctions obtenues par l'inver- 

 sion des fonctions méromorphes dans tout le plan ; je ferai connaître ici des 

 résultats concernant les points critiques des inverses d'une classe de fonc- 

 tions plus étendue, en prenant comme point de départ mes extensions aux 

 fonctions multiformes du célèbre théorème de M. Picard et ses générali- 

 sations. Considérons d'abord une fonction u =: f(z) à f» branches (algé- 

 broïde) donnée par l'équation suivante : 



u*'-h A,(z)u''-* H-...+ A^_,(^)w-|- A^(s) = o, 



les A,(z) désignant des fonctions méromorphes dans tout le plan d'ordre 

 maximum égal à p. Nous disons aussi que la fonction multiforme u = f(z) 

 est d'ordre p (voir ma Thèse : Sur les zéros d'une classe de fonctions transcen- 

 dantes, Gauthier- Villars, 1906 et Annales de la Faculté des Sciences de Tou- 

 louse). 



Une valeur u = u^ est appelée exceptionnelle , si la densité des racines de 

 l'équation 



est d'or .ire inférieur à p; nous supposons ici, pour fixer les idées, que les 

 coefficients A,(:î) soient entiers. J'ai obtenu les résultats suivants : 



I. Toute valeur u = u^ exceptionnelle de la fonction u-= f(z) est un point 

 critique transcendant de la fonction inverse : Z = W{u). 



Un cas très particulier et facile a été déjà indiqué dans ma Thèse; main- 

 tenant je l'ai démontré dans toute sa généralité. 



n. Les déterminations de Z = W(u), qui coïncident au point u = u^, y 

 deviennent infinies, le point u^ étant supposé exceptionnel. 



