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Il y a lieu de rapprocher ce théorème avec un énoncé de M. Hurwitz. 



2. Nos résultats suggèrent la classification suivante des points critiques 

 des inverses des fonctions algébroïdes u =/(z) : 



Si o' est l'ordre de la densité des déterminations, qui restent distinctes de l'in- 

 fini en un point u = u^^, nous dirons que ce point est d'ordre critique ^ — p' de 

 la fonction inçerse Z = W(^u\ 



Si p = p, le point critique sera d'ordre zéro et peut être algébrique ou 

 bien transcendant; si ^' ^ p, le point sera toujours critique transcendant et 

 son ordre peut varier depuis zéro jusqu'à p. Ainsi l'inverse d'une fonction 

 algébroïde d'ordre p ne saurait présenter des points critiques d'ordre supé- 

 rieur à p. Conformément à notre définition, les points réguliers de ^ = ^(«) 

 se présentent comme ayant un ordre nul; il en est de même de points cri- 

 tiques algébriques. Cette classification nous permet d'énoncer le théorème 

 suivant, qui est, dans une certaine mesure, la réciproque du théorème I, 

 à savoir : 



III. Tout point critique d'ordre différent de zéro (^transcendant) de la fonc- 

 tion inverse z = ^(w) est une valeur exceptionnelle de u =f(^z). 



L'exclusion des points critiques d'ordre zéro a une cause bien facile à 

 comprendre. Nous en déduisons le corollaire suivant : 



Corollaire. — Le nombre des points critiques d'ordre différent de zéro de 

 la fonction inverse z = W(u) ne saurait jamais dépasser le nombre iv, l'infini 

 compris. 



L'ensemble des points critiques d'ordre zéro, que nous excluons ici, 

 devient d'autant plus négligeable que nous utilisons une définition d'ordre 

 de grandeur et de densité de plus en plus précise (par exemple la défini- 

 tion de MM. Lindelôf et Boutroux). 



3. Les théorèmes I et II s'étendent à d'autres fonctions plus générales 

 telles que les fonctions u = ^(s) et s = 9(")» définies par une équation de 

 la forme 



Y{z, u)=:g^,(u) -+- g^(u) At(z) -\- g.^(u) k^i^) -\- . . . -h (^„(u) AX^-) = o, 



les Gi(^u) désignant des fonctions uniformes de u (par exemple entières) 

 et A^(^) des fonctions entières de z; dans ma thèse, j'ai démontré (') que 

 la densité des racines de l'équation 



Uf^—G(z) 



(^) Voir ma thèse, Ghap. I, 2^ Partie, p. 2o-23. 



