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établi ces formules à Taide de développements en séries de fonctions 

 sphériques. 



Je montre dans cette Note que les formules de M. Rorn dérivent immé- 

 diatement de quelques formules, qui sont un cas particulier d'autres plus 

 générales, que j'ai démontrées, par des procédés très simples (sans re- 

 courir aux séries) dans ma Note : Trasformazione di alcune Junzioni poten- 

 ziali , parue récemment dans les Rendiconti del Circolo Matematico di 

 Palermo, lome XXII, 1906. 



1. Désignons par S la sphère de rayon R et ayant son centre à l'origine 

 des coordonnées, par a la surface sphérique qui la limite, et appelons 

 V(iF, y, 2) la fonction potentielle de la sphère S, dont la densité est w; 

 alors, si p indique le rayon vecteur du point (a:, y, ^), et si Ton suppose 

 que la densité u soit une somme de produits de puissances paires de p par 

 des fonctions qui vérifient l'équation de Laplace, c'est-à-dire que u soit 

 exprimée par la formule 



m— 1 



"=I;,P''F. (A,F,= o), 



la fonction potentielle V, pour les points de la sphère S, sera donnée par 

 la formule 



în — 1 _o 2n — 1 



i r9 _1 



j n j 



et, pour les points à l'extérieur de S, on aura 





(2) V.= -x2^ip'^ f p ^ F„_,r/p-|-.:2„^ï^"p"^/ P"'V,4. 



1 j 



Si Ton considère la fonction potentielle U de la surface sphérique c, 

 dont la densité est m, et si l'on désigne par Fia fonction harmonique dans S 

 et qui sur (7 coïncide avec m, on aura respectivement à l'intérieur et à l'exté- 

 rieur de S : 



(3) U,= 27rRp"^ r p"^F4, U,= 27vRp"^ r%"^Frfp. 



Ces formules nous donnent les fonctions V et U exprimées au moyen de 

 quadratures. 



