SÉANCE DU l4 JANVIER I907. 6q 



Si, en particulier, la densité u est une fonction harmonique dans S, que 

 je désignerai par 8, on a, des formules (i)-(3) : 



1 /.p ) 





R^ R2 



(2') V,= -::p^r p^Or/p + TTR^p"^ Tp-^O^p. 



(3') \Ji=iT.^p f%~hd^. 



2. Les formules précédentes sont très utiles pour les questions relatives 

 à la sphère; dans une Noie, j'en ai indiqué plusieurs applications (par 

 exemple une nouvelle solution du problème de Dirichlet pour la sphère), 

 et j'ai dit, en outre, qu'elles donnent sous une forme très commode les 

 dérivées, relatives à la normale, pour les points de la surface sphérique : 

 en effectuant les calculs, on a les formules de M. Korn. 



Dérivons donc l'égalité (i), et nous aurons 



x/v- T _i /"P 1 , .1 r^ _i 



(4) ^=_1t:o^/ p^Of/p- - -R2p ^ / p ^O^o-TToO + TTR-p-'O; 



I «-'o «-'0 



par conséquent, en désignant par n la normale intérieure à la sphère, on 

 aura, pour les points de t : 



OU bien, ayant égard à (1), (3), 



(//« 2 R 2 



c'est la formule (4) de M. Korn. 

 En dérivant encore (4) on a 



d 



iV I 3/^Pi :> .± r'i' .L 



li^i^r^ P^e^P + ^:rR^P ^/ p ^e^ 



2 2 ' ' ap ^ d-j' 



C. K., 1907, I" Semestre. (T. CXLIV, N° 2.) ï<^ 



