SÉANCE DU 27 MAI 1907. II 49 



la plus approchée en moyenne de f. i Pour que /soit elle-même accessible, 



il faut et il suffit que/^^ a^ o, -h «ocpo + . . ou / /- dx =^ a\ -V a^., ^ . . .\ . 



L'ensemble cp,, (p,, ... est dit générale chaque fonction de Çl est acces- 

 sible ('). Pour cela (il faut et) il suffit que l'on n'ait 



X 



b 

 U(!^j,dx^=o (^n = i,i,...) 



pour aucune fonction u de Q, qui diffère essentiellement de zéro; car, si/ 

 n'était pas accessible, / — f^ = u remplirait les conditions indiquées. Donc 

 les notions ensemble i^énérale/ ensemble fermé, introduites par M. Hilbert, se 

 confondent si on les applique à ^. 



Pour une autre application de notre théorème, on peut démontrer qu'à 

 un ensemble (p,, cpo, ... qui n'est pas général, on peut toujours adjoindre 

 des fonctions (j'i, ^2' • • •■> ^^ sorte que rp,, (Do, • . ., 'j'i, '|o, . . . est général. 



D'ailleurs, pour la théorie de l'approximation en moyenne, les ensembles dénom- 

 brables «pi, cp,, ... ne sont aucunement le vrai point de départ; je développerai cette 

 théorie dans une autre occasion en m'appuyant sur une espèce de géométrie des 

 fonctions. 



Passons à un problème tout différent : reconnaître si une fonction con- 

 tinue F(^) est ou non l'intégrale indéfinie d'une fonction de Çl. Prolongeons 

 ¥ (^x) au delà de {a,b) de manière que ¥(x-\-b — a) — F(x) devienne 

 constante et formons (^) 



F(^-: 4-0) — F(.r — ô) 



Fo(^) = 



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S désignant une constante réelle non nulle. F^(x) est une fonction con- 

 tinue admettant la période b — a. Les notions et théorèmes sur la conver- 

 gence en moyenne s'étendent immédiatement du cas \imn = cc (suite 

 dénombrable) au cas limS = o, ce qui fournit la réponse suivante à la 

 question [)osée : Pour que la fonction continue ¥(x)soit l'intégrale indéfinie 

 d' une fonction de Q, (^il faut et) il suffît que Fs(^) converge en moyenne pour 



(') En d'autres termes, si les fonctions Cjca^ + . . , + c„ç3„ constituent un ensemble 



général au sens de la Note citée {voir déf. I ^). 



,.,, r. ... ¥{x-^^)-¥{x) 

 (-) (Jn pourrait aussi raisonner sur ^^ • 



