Il5o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



limS = o, c'est-à-dire que 



/•* 

 lim / (Fs- F5)Va7 = o. 



5, 5'=0 J a 



Car si ^li^x') converge en moyenne, il existe dans ^, en vertu du théo- 

 rème général, une fonction f vers laquelle Fg(a7) converge en moyenne, 

 et Ton a 



lim / F^dx =^ I fdx\ 



5 = J a ''a 



mais le premier membre de cette équation n'est autre chose que 

 Y{x)-Y{a). 



Il suit de cette proposition et d'un théorème de M. Lebesgue (') que, 

 si Y^(^x) converge en moyenne, elle doit aussi converger pour chaque 

 valeur de x, sauf pour un ensemble de mesure nulle. 



Dans cet exemple de convergence en moyenne se présentent des circonstances parti- 



culières. Considérons la quantité / F\dx. On peut prouver qu'elle a toujours, pour 



limo:r:o, une limite déterminée qui est finie ou H- oo suivant que Yii^x) converge en 

 moyenne ou non. Donc, pour que la fonction continue F(^) soit l'intégrale indé- 

 finie d'une fonction de Q, il faut et il suffit que 1 F| dx soit une fonction bornée 



^ a 



de 0. Posons enfin F(^) = iCx 4- Fj (^), où C est une constante et Fj admet la 

 période h — a; prenons « i^ o, 6 = 271 et posons 



I r'" I r^-"" 



A„z:z - I Y^co^nxdx^ B„:r; - / Y^%\nnxdx. 



Alors, pour que la fonction continue F (a?) soit l'intégrale indéfinie d'une fonc- 

 tion de ti, il faut et il suffit que la série S«^( A^ + B;, ) soit convergente. 



Je tiens à prouver que l'emploi des notions de M. Lebesgue est néces- 

 saire pour notre sujet. Soit II l'ensemble des fonctions continues et r:^, 

 7^2, ... un ensemble général de fonctions continues remplissant les condi- 

 tions analogues à (1). Il existe dans Q, une fonction j^ différant essen- 



tiellement de toutes les fonctions de II, posons <7,„= / yjz^dx. Alors la 



série à termes continus a,7ï, + «oTûo + . . . converge en moyenne, sans con- 

 verger en moyenne vers aucune fonction continue: donc, /?Oi^r H, le théorème 



(') Lebesgue, loc. cit., p. 124. 



