I2o4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



gnant trois entiers positif s satisfaisant à V inégalité 



I I I ^ 



1 h - < I. 



m 11 P 



Considérons à cet effet dans le plan de la valeur complexe w le cercle 

 I Cl) I = I et les deux rayons OP, OQ faisant respectivement les angles zéro et 



— avec l'axe réel positif; on pourra d'une manière unique construire un 



arc de cercle BC dont les prolongements coupent orthogonalement le 



cercle | w | = i et qui fait en B et C des angles égaux à - et - avec les rayons 



vecteur OP et OQ passant par ces points. On fera la représentation con- 

 forme de ce triangle sur le demi-plan supérieur des y de façon qu'aux 

 points O, B, C correspondent les points o, i, oo en posant (Darboux, Théo- 

 rie des surfaces, p. i36) 



I e^ 



'"^ = cë;' 



(2) I 0, = F(a, ^,y,j), 0^=y«F(a-t-l-Y, fi + l-y, 2 -y,j), 



a. = ^(i ^- -H--), [i = -(i • -) Y = i > 



2\ m II pj 2\ m n p J * ni 



où le symbole F désigne la série hypergéométrique et C est une constante 

 réelle dont j'indiquerai tout à l'heure la valeur. 

 Considérons la fonction 



Q. = a>'«'= ^ j + a,y- 4- a,y' -1- . . . , 



qui est régulière aux environs de l'origine. On verra, en se rapportant 

 aux propriétés des triangles d'arcs de cercle, que la fonction 



ii[/('^)] = 7^r'='- 



est, à cause des hypothèses faites sury(^), régulière à l'intérieur du 

 cercle |^|5i et y a une valeur absolue moindre que l'unité. Il en sera de 

 même pour la fonction 



^/. — C" ' 



et comme le maximum de cette dernière grandeur n'est atteint que sur la cir- 



