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SÉANCE DU 3 JUIN I907. I2o5 



ce qui donne au point a; = o 



|a|<C"* ('). 



La démonstration de ce que C" est bien la limite supérieure de ] a se 

 fera identiquement comme dans ma Note précédente. On verra, en suivant 

 le raisonnement à l'endroit cité de M. Darboux, qu'on peut exprimer C au 

 moyen de fonctions eulériennes; il suffira de poser, dans la formule (43) 



du 8 136 de son Ouvrii£:e, X = — ? fj, = -> v = -• Le cas le plus intéressant 



est celui oîi la fonction /(ce) est régulière dans le cercle [ -^^ | = i et n'y ad- 

 met pas la valeur i, tandis que toutes ses racines, pour les valeurs de x 

 différentes de zéro, sont d'ordre divisible par m. Dans ce cas, il faudra 

 faire n = p = ^, et l'on aura 



(3) A(m) = C''' = 



r'« ( 1+ — I r^'" 



m / \ 2 2 m 



I— - )r"'M - + — 



771 J V 2 2 ni 



En se servant de la formule connue 



I \ s/tz T{2Z -^ i) 



ru 4- 



2^= r(- + i) 



on obtient 



A (/??) = 16 



r'« ( I — - \ r^'" 



7?l / \ 2 /tl 



T'" ( I + — 1 r^"' ( I 



m / \ 2 ni 



et le développement de \o^T(i -h x) suivant les puissances croissantes 

 de ûc donne finalement 



00 



(4) 



n = l 



s«=i + i -+-i+-- 



C) Je dois celte démonstration si élégante d'un théorème connu de M. Schwarz 

 {Ges. Abh., t. II, p. 108) à une communication orale de M. E. Schmidt. 



