I206 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Cette dernière formule dont tous les termes sont positifs montre que 



A(2)>A(3)>A(4)>...>i6; 



le maximum de A(m) est donc A(2) == 19,157 1 



Le cas limite où la fonction /(^) n'admet, en tout point du cercle | ^7 j < i 

 différant de ;r = o, ni la valeiu- un ni la valeur zéro, pourrait être traité en 

 posant dans la formule (4) m =^ y:), ce qui donne |a.|^T6; on traite plus 

 directement ce dernier problème en se servant de la fonction 



T(y) désignant la fonction modulaire elliptique. Il est intéressant de con- 

 stater que cette dernière fonction est, à la constante % près, précisément 

 celle que M. Picard a employée il y a plus de vingt-cinq ans. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les invariants intégraux. 

 Note de M. E. Goursat, présentée par M. Appell. 



1. Les relations entre les intégrales d'un système d'équations différen- 

 tielles et les invariants intégraux correspondants ont déjà été étudiées par 

 MM. Poincaré, Rœnigs, de Donder et d'autres. La Note ci-dessous a pour 

 but de répondre à la question suivante : 



Etant donnés un système d'équations différentielles 



où les X, ne renferment pas /, et un invariant intégral du premier ordre 



(2) Ji = / A^ dx^ -\- Ao dx^ H- . . . + A„ dxji, 



relatif à toute ligne fermée, quel parti peut-on tirer de la connaissance de 

 cet invariant pour simplifier l'intégration du système (i)t 



Pour que J soit un invariant intégral relatif, il faut et il suffit que l'inté- 

 grale 





dxi, 



