SÉANCE DU 3 JUIN I907. 1 2O7 



étendue à une ligne fermée quelconque, soit nulle, c'est-à-dire que l'ex- 

 pression sous le signe intégral soit une différentielle exacte. En posant 





dAf àA;, 



d-JCk <)xi 

 les conditions d'intée^rabilité s'écrivent 



n 



h = l 



2. Cela étant, posons 



(5) [;,,= a,,X, + «,-2X2 + .. . + a,„X„; 



on a 



(6) [7,,X, + ^0X2+ . . . 4- fx,,X„= o, . . 



en vertu des relations a/^^-h af^i= o. D'autre part, des conditions (4), 

 jointes aux relations 



on déduit aisément que 



(7) [^-, dx^ -h ^..,dx.y H- . . . + \J-nàXn 



m 



est une différentielle exacte. Donc, si toutes les expressions ij.i ne sont pas 

 nulles, on déduit de l'invariant relatif 1 ^ une combinaison inlégrable 



^^ dx^ + [J.^dx^ H- . . . + [J'nd00„ = O 



du système (i). 



Ce théorème s'applique encore si J^ est un invariant absolu. 

 Dans ce cas, on a 



[A, dx, + ...-\- [J^ndXn = f/( A , X , + . . . + A„ X„), 



et l'on retrouve un théorème de M. Poincaré. 



3. La méthode paraît illusoire si toutes les expressions [j^i sont nulles, 

 c'est-à-dire si l'on a 



(8) anX^ + ai^X^-h ...-hai;^Xn=o (i= ï, 2, ...,n), 



