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ce qui exige que le déterminant des «^^t soit nul. Les équations 

 (g) al^ dx^ + Œi^doc^ + . . . + ai^dx^ = o 



sont alors des conséquences des équations (i). Le déterminant des a^f 

 étant nul, les équations (9) se réduisent à/? équations distinctes {pSn — i), 

 et ces p équations forment un système complètement intégrable (^), dont 

 les /i — /? intégrales sont aussi des intégrales du système (i). On peut donc 

 dans ce cas déduire de l'invariant J, un système complet de n — p équa- 

 tions de même forme que X(/) = o, dont les p intégrales sont aussi des 

 intégrales de X(y) = o. 



Si yo = /z — I , cas qui ne peut se présenter que si n est impair, ce système 

 complet se réduit à une équation unique A {/) = o, équivalente à l'équa- 

 tion X(y*)o. Maison déduit aisément des propriétés des déterminants 

 symétriques gauches un multiplicateur du système (i). 



En résumé, lorsque l'on connaît un invariant intégral relatif àw premier 

 ordre de la forme (2) des équations (i), on \>e\\i former une combinaison 

 intégrable de ces équations, ou obtenir un système complet dont les p inté- 

 grales {p <^n — i) sont aussi des intégrales de X (/) = o, ou trouver un 

 multiplicateur. 



4. Il existe des théorèmes analogues pour les invariants relatifs d'ordre/?. 

 Supposons par exemple/? = 2, et soit 



Jo = j j lAikdXidx^ 



un invariant intégral du système (i) pour toutes les multiplicités fermées 

 à deux dimensions. De cet invariant J^ on peut déduire un invariant 

 absolu lo du même système 



I2 = / / l\i.ikdxidxky 



pour lequel l'expression i ;7.,vi^'^«'^-^/c Gst une différentielle totale exacte. 

 Cet invariant I2 fournit lui-même un invariant intégral relatif du premier 

 ordre 



J f — 1 A j uX , "f— ... ~t~ A^ uXfi , 



(') Voir le Mémoire de M. Darboux. Sur le problème de Pfaff {Bulletin des 

 Sciences mathématiques, 1882). 



