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ment indépendantes d'un s\slème (A,) analogue à (A), mais h el a' sont 

 remplacés par — Z> et — a' . 



On tire de là que toute transformation par polaires réciproques d'une sur- 

 face S par rapport à une sphère ayant son centre au centre de S donne aussi 

 une surface S. 



4. La fonction k au moyen de laquelle s'expriment les coefficients a, h, 

 a' et b' du système (A) vérifie une équation aux dérivées partielles que l'on 

 peut ramener à une des formes 



'ôuôv ~ ' IkTd^ ~~ 1?' 



La première, c'est l'équation bien connue de Liouville, conduit à deux 

 systèmes (A) que l'on pe^it intégrer complètement. Un de ces systèmes se 

 trouve dans la Théorie des surfaces de M. Darboux [IV^ Partie, p. 97 et 98, 

 équ. (20), (24) et (25)] et conduit à la sphère, qui est évidemment une 

 surface S, et, en vertu du théorème précédent, ï^ux quadriques à centre, 

 que l'on sait aussi être des surfaces S. Le deuxième système conduit à des 

 surfaces plus compliquées. 



La deuxième équation en k est du même genre que celle qui se présente 

 dans l'étude des surfaces à courbure totale constante; elle mérite une 

 étude spéciale. Pour le moment j'indique le système (A) particulièrement 

 simple qui correspond à la solution évidente k =^ ^ , 



du''- âv au di' ' âv- ~~ au 



dont on tire facilement trois intégrales linéairement indépendantes 



ce = e-("+") cos ^ ( u — v), y = e-(«+") sin ^(u-v), 



2 > "^ -^ 2 -^ 



^U+i' 



qui donnent une surface S de révolution du troisième ordre, à savoir 



et d'où l'on déduit, à l'aide du théorème énoncé plus haut, les surfaces S 

 suivantes : 



(UfOC + fj^Y ~h c^z)(a.x -h b.,y + c.,z){a.^x + h.^y -^ c^z) = i, 

 les a, b, c étant (Ils cpnstautfss. 



