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Posons ^l^ = -, a^ = .t,, — r,, h^^= x^-\~ -/], x^ désignant une valeur quel- 

 conque de X, prise entre a et h, y; un nombre positif que l'on peut choisir 

 si petit qu'on le veut. On trouve, en vertu du théorème énoncé, 



En nous plaçant maintenant dans l'ordre des idées de Laplaceet de Her- 

 mite, supposons qu'on puisse donner pour le terme général de la série 



(2) ^k,V,,{x) 







l'expression suivante, que j'appellerai expression asymptotique de kj^Yj^ : 

 (3) Af,Yf, = Wj,(x)-hciki^k(x), 



où Wf((x) et WhÇ-^) sont des fonctions continues, dont la seconde satisfait 

 à la condition 



Q désignant une quantité positive, finie et indépendante de k, a./, sont des 



constantes telles que la série V | a/^ | converge. 



On voit que la recherche des conditions de convergence de la série (2) se 



ramène à celle de la série^^ W/f(.r). 



Supposons que cette série et, par suite, celle de (2) convergent unifor- 

 mément. 



Dans ce cas on trouve, en tenant compte de (i). 



Remarquant maintenant qu'en vertu de l'hypothèse faite sur cf./, et w,.(x), 

 supposons encore que 





