SÉANCE DU 17 JUIN 1907. l33l 



Cette condition étant remplie, on trouve, en vertu de (3) et (4), 



yA.v,(^',) = lim ' fVfe [""mal = 



en tout point x ^= x^, où les expressions /"(^Po + o), /{œ^ — o) ont des 

 valeurs déterminées [voir mon Mémoire Sur la théorie des séries trigonomé- 

 triques {Bull, de l'Acad. de Cracovie, novembre 1903, p. 728, etc.)]. 



Tout se ramène à la recherche des expressions asymptotiques des fonc- 

 tions Y j,{x) conduisant à l'équation (3), oàWk{x), a^. et Wf,(x) satisfont 

 aux conditions tout à l'heure mentionnées. 



La plus simple solution de ce problème s'obtient, dans plusieurs cas, 

 par l'extension d'une méthode de Liouville (1837) et de Bonnet (i852), 

 employée aussi par Darboux en 1878, qui conduit, en général, à l'équation 

 de la forme 



Aa Va- = ^k cosE/,^ H- a-A <'^'k(^)y ^k(^) = Ba coslj,x, 



Ba et Ift: étant des constantes. Dans ce cas on trouve, moyennant la méthode 

 de Riemann, 



limY-Ar r"'^^ r"VA(^)rfE = limyf^VwAC^o) =21Wa(^o), 



si la série VWa(^) converge uniformément. 



Or, on peut démontrer que la recherche des conditions de convergence 

 de cette dernière série se ramène à celle de certaines séries de Fourier dans 

 le cas des fonctions de Legendre, de celles de Hermite et de Jacobi, 

 de certaines classés de polynômes de Tchebicheff, des fonctions de Bessel 

 et de Lamé, dans le cas général des fonctions de Sturm-Liouville (voir 

 A. K^ESER, Mat hemat. Annal., Bd. LVIII, LX et LXIII), qui se rencoutreut 

 dans le problème de refroidissement d'une barre hétérogène, ainsi que 

 dans beaucoup d'autres cas. 



Il ne reste qu'à employer la méthode classique de Dirichlet pour achever 

 la solution du problème du développement d'une fonction arbitraire en 

 séries procédant suivant lesdites fonctions. 



Donc, une généralisation des méthodes classiques de Laplace-Hermite, 

 Liouville, Bonnet, Riemann et Dirichlet, et l'application convenable de mon 

 théorème énoncé au début de cette Note nous conduisent au théorème sui- 

 vant, qui aura lieu pour toutes les fonctions que nous venons de signaler : 



