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La série (^2) converge uniformément à l' intérieur de V intervalle donné (a, b) 



et sa somme est égale à 



/(x + o)h-/(^ — o) 



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si la fonction donnée f(^x) est une fonction à variation bornée (voir Jordan, 

 Cours d'Analyse, t. I, iSgS) entre a et b. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces engendrées par une hélice circulaire. 



Noie de M. Barré. 



6. Pour terminer la série de (juestions relatives à la répartition des nor- 

 males en chaque point d'une même génératrice, je me propose de trouver 

 dans quels cas ladite normale rencontre une droite fixe ou est parallèle à 

 un plan fixe. On est ainsi conduit aux trois théorèmes suivants : " 



Théorème XI. — Les surf aces engendrées par une hélice circulaire indéfor- 

 mable qui se meut en conservantla même direction d'axe, les cylindres de révolu- 

 tion et les surfaces F sont les seules dont les normales aux divers points de chacune 

 des génératrices rencontrent une même droite parallèle à l'axe de la génératrice 

 considérée. 



Ces normales restent en même temps parcdlèles à un pian fixe. 



Théorème XII. — Les surfaces désignées dans le théorème précédent sont les 

 seules pour lesquelles les normales aux divers points d'une même génératrice 

 restent parallèles à un plan fixe. 



Bemarque. — Il résulte immédiatement des théorèmes XI et XII qu'il y 

 a réciprocité entre les deux propriétés qui en font l'objet : la normale aux 

 divers points de chaque génératrice rencontre une parallèle à l'axe de 

 celle-ci, d'une part, et reste parallèle à un plan fixe, d'autre part. Il résulte 

 de là que la normale en question décrit un conoïde. C'est un rapproche- 

 ment entre ces surfaces et les surfaces réglées (paraboloïde des normales). 



Ces deux théorèmes sont d'ailleurs des cas particuliers du suivant : 



Théorème XIII. — Si les normales aux divers points de chaque hélice géné- 

 ratrice rencontrent une droite fixe, elles rencontrent aussi une deuxième droite 

 fixe. La surface est un cylindre de révolution, une surface F ou une surface 

 engendrée par une hélice indéformable et inversement , toutes ces surfaces jouis- 

 sent de la propriété citée. 



Le théorème XIII donne lieu aux remarques suivantes : 



Remarques. — 1. Les génératrices des surfaces, objet du théorème XIII, sont indé- 

 formables ou douées d'une enveloppe. 



