SÉANCE DU 17 JUIN 1907. . l333 



2. Si l'une des deux droites dont il est question dans ce théorème disparaît à l'in- 

 fini, l'autre devient parallèle à la génératrice. C'est le cas envisagé par les théorèmes XI 

 et XII. 



3. Nous avons fait au sujet des théorèmes XI et XII un rapprochement avec les sur- 

 faces réglées ; le tliéorème XIII conduit en outre à un rapprochement avec certaines 

 séries de surfaces cerclées, rapprochement qui résulte immédiatement du théorème 

 suivant corollaire d'une proposition du Mémoire déjà cité : Pour que les normales aux 

 divers points de chaque génératrice d'une surface cerclée rencontrent, outre l'axe de 

 cette génératrice, une seconde droite fixe il faut et il suffit que le cercle générateur 

 soit indéformable ou possède une en>'eloppe. 



4. La démonstration directe de ce fait que les normales à la surface engendrée par 

 une hélice indéformable aux divers points de chaque génératrice rencontrent deux 

 droites fixes se ramène très simplement au théorème de Schôneraann et Mannheim s»r 

 la propriété des normales aux surfaces trajectoires à un instant donné des divers 

 points d'une figure indéformable. La surface engendrée par une hélice circulaire indé- 

 formable coïncide en effet avec les diverses surfaces décrites par chacun des points de 

 celte hélice dans le déplacement à deux variables, constitué d'une part par le mouve- 

 ment à un paramètre dont est animé l'hélice génératrice et d'autre part un mouve- 

 ment hélicoïdal indépendant du premier et qui ne cesse de faire coïncider la 

 génératrice avec elle-même dans chacune de ses positions. En appliquant le théorème 

 précité aux divers points de la génératrice on irouve précisément notre proposition. 

 Cette démonstration s'applique évidemment aux surfaces réglées et à celles engendrées 

 par un cercle indéformable. 



7. Détermination de certaines surfaces par des propriétés imposées à ses 

 hélices génératrices . 



Je vais d'abord énoncer une proposition dont le principal intérêt est 

 qu'elle est liée à la solution du problème dont les résultats sont énoncés 

 par les théorèmes qui suivent. 



Théorème XIV. — Les seules surfaces pour lesquelles la fonction H est 

 rationnelle en ç, sin^ et coscp sont : 



1° Les hélicoïdes, pour lesquels, d'ailleurs, la fonction H ne dépend 

 que de t; 



2" (certaines surfaces tï>. 



Théorème XV. — Les hélicoïdes sont les seules surfaces dont les trajectoires 

 orthogonales des génératrices soient des géodésiques. 



Théorème XVL — Le cylindre de révolution est la seule surface dont les tra- 

 jectoires ^o^• orthogonales des hélices génératrices soient des géodésiques. 



Théorème XV II. — Les hélicoïdes sont les seules surfaces telles qu'une 

 famille de courbes fusant avec chaque génératrice un même angle, variable 

 en général avec la génératrice considérée, soit constituée de géodésiques de la 

 surface. 



C. R., 1907, I" Semestre (T. GXLIV, N° 24.) , ^7^ 



