SÉANCE DU 24 JUIN I907. l4o9 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une espèce de Géométrie analytique des 

 systèmes de fonctions sommahles. Note de M. Frédéric Riesz, présentée 

 par M. Emile Picard. 



Dans une conférence faite à GôUingen, à la Société mathématique, le 

 26 février de cette année, j'ai énoncé les résultats de mes recherches sur 

 des systèmes de fonctions sommables. Ensuite je communiquai les princi- 

 paux de ces résultais dans deux Notes publiées dans ces Comptes rendus 

 (18 mars et 2 avril) et dans une Note, peu différente, publiée dans les 

 Gôttinger Nachrichten (1907, p. 116). J'avais l'intention de ne reprendre 

 le sujet que dans un Mémoire contenant les détails et plusieurs applica- 

 tions et qui paraîtra dans les Mathemalische Annalen, Cej)endant deux 

 Noies de M. Fischer parues récemment (le i3 et le 27 mai) dans ces 

 Comptes rendus et qui s'occupent de mes recherches me forcent de changer 

 mon projet. 



Le but de mes recherches était : « Approfondir la méthode des coordon- 

 nées appliquée à l'étude des systèmes de fonctions sommables. w A qui 

 revient le mérite d'avoir introduit la notion de coordonnée dans la théorie 

 des fonctions sommables? Vraiment, il serait difficile de le dire. Ce qui 

 est sûr, c'est qu'après les résultats fondamentaux relatifs aux séries de 

 Fourier, trouvés ces dernières années par j)Iu.sieurs géomètres et fondés 

 la plupart sur ceux de M. Fejér, l'idée de représenter une fonction par ses 

 constantes de Fourier devait devenir très familière. De cette fiiçon, on par- 

 venait à représenter l'ensemble des fondions sommiibles sur un sous- 

 ensemble de l'espace d'uiK; infinité déuombrable de dimensions. Quel est 

 ce sous-ensemble? Jusqu'à aujourd'hui on ne sait pas le dire. 



Or, pour une classe plus spéciale, pour le système des fonctions som- 

 mables et de carré sommable, la solution du problème ne comporte plus 

 tant de difficultés. Pour celle classe, il existe un lien plus intime entre la 

 fonction et sa série de Fourier ou donc, entre la fonction et d'autres séries 

 analogues, conséquence du fait que ces séries sont les solutions de pro- 

 blèmes très simples d'approximation. Pour celte classe de fonctions on 

 peut définir une notion de distance et l'on peut fonder sur cette notion une 

 théorie géométrique des systèmes de fonctions, théorie qui ressemble à la 

 géométrie synthétique. D'autre part, la notion de distance peut aussi être 

 définie d'une manière simple pour un sous-ensemble de points de notre 



