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espace; c'est jDour l'ensemble des points dont la somme des carrés des 

 coordonnées converge. Or, grâce au théorème sur l'intégration du produit 

 de deux fonctions représentées par leurs constantes de Fourier, le lien 

 entre ces deux notions de distance est très intime; il permet défaire corres- 

 pondre à cette géométrie synthétique des fonctions une géométrie analy- 

 tique. Ce parallélisme des deux théories ne devient complet que par mon 

 théorème d'existence qui assure que chaque point jouant un rôle dans cette 

 géométrie analytique peut être regardé comme image d'une fonction som- 

 mable de carré sommable. Alors, toute la géométrie de notre sous-ensemble 

 de points, géométrie qui peut être développée sans difficultés, se laisse tra- 

 duire dans une théorie des systèmes des fonctions sommables, de carré 

 sommable. C'est pourquoi dans mes Notes je n'ai plus insisté sur cette 

 théorie, j'ai supprimé bien des résultats dont j'étais en possession, ne vou- 

 lant les publier que dans mon Mémoire. 



Je le répète, c'était la théorie analytique que j'avais en vue. Au contraire, 

 dans ses deux Notes mentionnées ci-dessus M. Fischer développe, d'une 

 manière très élégante, la théorie synthétique; il retrouve, en outre, le cas 

 particulier, relatif à des fonctions définies dans un intervalle, de mon 

 théorème fondamental. Il me faut remarquer que les fondements de cette 

 théorie, la notion de fonction limite basée sur la notion de distance, se 

 trouvent déjà dans ma Note : Sur les ensembles de fonctions (^Comptes rendus, 

 12. novembre 1906); la convergence en moyenne d'une suite de fonctions 

 vers une fonction, introduite par M. Fischer, revient à cette notion de 

 fonction limite. 



Pour fixer mes résultats, conséquences immédiates de mon théorème, 

 j'en énonce encore deux. Voici le premier, intimement lié à certaines 

 recherches de MM. Hadamard et Fréchet. Pour l'ensemble des fonctions 

 sommables, de carré sommable, j'appelle opération continue chaque opé- 

 ration faisant correspondre à toute fonctiony"de l'ensemble un nombre 

 U (/) et telle que, quand /„ converge en moyenne vers/", U(/„) converge 

 vers U(/). L'opération est dite linéaire si U (/, -1-/2) = U(/, ) -t- ^ {fi) et 

 U (c/) = cU(y"). Alors pour chaque opération linéaire continue il existe 

 une fonction k telle que la valeur de l'opération pour une fonction quel- 

 conque f est donnée par l'intégrale du produit des fonctions /" et k. 



Le second résultat se rapporte à un problème posé et traité par 

 M. Schmidt. Soit (p, {oc), Ça (^)» • • • uf'e suite de fonctions continues, inté- 

 grales indéfinies des fonctions '^^{x), '^.^{x)y ..., sommables et de carré 

 sommable. Alors, pour que chaque fonction/(.r) puisse être représentée par 



