SÉANCE DU 24 JUIN I907. l4ll 



une série uniformément convergente dont les membres sont des agrégats 

 linéaires des fonctions i , <p, {x), cpo (a?), . . ., il suffit qu'il n'existe pas de 

 fonction sommable, de carré sommable, orthogonale en même temps à 

 chaque fonction '\i(x). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'équation fonctionnelle de M. Fredholm. 

 Note de M. A. Korx, présentée par M. Emile Picard. 



Les travaux intéressants de ces dernières années, qui se rattachent à 

 l'équation fonctionnelle de M. Fredholm 



(i) /(^)=(p(^)+i r K(^, /)(p(/)c?^ 



contiennent de nombreuses applications de cette équation fonctionnelle à 

 la Physique mathématique. Comme dans les démonstrations connues de la 

 méthode de M. Fredholm, le noyau K(^, t) (Kern de M. Hilbert) est sup- 

 posé continu ou satisfaisant à certaines conditions de discontinuité assez 

 restreintes, qui ne sont pas toujours remplies dans les problèmes de la 

 Physique mathématique, surtout quand on procède aux problèmes dans 

 l'espace à trois dimensions, des difficultés surgissent; des difficultés d'une 

 nature analogue ont déjà été vaincues, pour un grand nombre de ces pro- 

 blèmes, par des travaux ayant comme point de déj)art les méthodes d'ap- 

 proximations successives de MM. Neumann, Schwarz, Picard, et surtout 

 celle de M. Poincaré exposée dans son célèbre Mémoire sur les équations 

 de la Physique mathématique, et il me semble utile d'essayer une tactique 

 diamétralement opposée à celle dont on s'est servi jusqu'à présent : de 

 traiter l'équation fonctionnelle de M. Fredholm par les méthodes connues de 

 la Physique mathématique. 



Il s'agit, en somme, de démontrer le lemme suivant (*) : 



Soient fi(s), /2(^), • • 'fj>{^)p fonctions linéairement indépendantes et 



(^) On s'aperçoit aisément de l'analogie de ce théorème avec le théorème connu de 

 M. Poincaré [voir la démonstration générale du théorème de M. Poincaré dans mes 

 Abhandlungen zur Potentialtheorie (Berlin, Perd. Dummler's Verlag, Abh. IV, 

 1901)]. 



