l4l2 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



continues dans l'intervalle ab, et posons 



(^^ I r {s) = f\{s, t) [a,/, (/) + a,/,(/) + . . . + ^jJ,{t)-\ dt. 



En désignant par a,, a., . . ., a^, des constantes, alors on peut toujours 

 choisir les constantes ay de manière que l'inégalité 



r vp{s)Yds 



(3) '-^. <^ 



soit satisfaite, où L^ est un nombre que l'on peut faire aussi petit que l'on 

 veut, en agrandissant p. 



Si l'on peut démontrer ce lemme, on pourra, dans le cas d'un noyau 

 symétrique, où les fonctions successives 



(^> />(.)= r"K(5,o/-'(o«^^ (7=1,2,...) 



satisfont à la condition 



i:\p{s)\-ds=. Çp-^{s)p-^{s)ds 



à l'aide de méthodes bien connues, sans avoir recours aux démonstrations 

 de M. Fredholm et de M. Hilbert, démontrer tous les résultats obtenus par 

 ces éminents géomètres concernant la solution du problème ('), sur les 

 valeurs singulières X/^ de "X et sur les fonctions satisfaisant aux équations 



(6) Y,{s) = \,j\{s,t)Y,(t) 



dt. 



(^) Y compris les développements d'après les fondions F;^.(^) traités par MM. Fred- 

 holm, Hilbert, E. Schmidt, Kneser. 



