SÉANCE DU 24 JUIN 1907. l4l3 



Or la démonstralion du lemme proposé ci-dessus est d'une simplicité 

 frappante, si R(^, l) est une fonction continue de ses arguments dans l'in- 

 tervalle a, b. En effet, on n'a qu'à diviser l'intervalle a, b en p sous-inter- 

 valles 



ajUj^t {j = i, 2, ..., p); a, = a, a^^, = b 



et calculer les constantes ay de manière que l'on ait 



^ ^ ( a, r '^\{s, t)f,{t)dt + . . ,^ r^J '^\{s, l)Jp{t)dt = ç>, 



(7) A- «^"z 



[ aj -h . . . + aj, = I , 



alors on aura l'identité 

 d'oïl l'on tirera 



(9) \ „ ,. 



\ "a ^ a 



en désignant par l^ la valeur la plus grande de la différence 



dans n'importe lequel des intervalles aj, (ij^^. Comme on peut, en agran- 

 dissant/?, faire les intervalles Œj, «y^., aussi petits que l'on veut, on arrivera 

 facilement à notre proposition, siR(^, t) est supposé continu. 



Mais on voit aussitôt par l'identité (8) que, dans beaucoup de cas où le 

 noyau R(^, i) n'est pas continu, la méthode de M. Poincaré sera tout de 

 même applicable, par exemple si 



|R(f,5)-K(/, .OI<L/.K^^) [^y5(")<«y-] 



et si seulement l'intégrale 



j, ^h 



f f [^(t,s')\'dtds 



possède une valeur finie. 



C. K., 1907, I" Semestre. (T. CXLIV, N" 25.) l83 



