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L'identité (8) suggère même des applications encore bien plus géné- 

 rales; elle deviendra le point de départ d'une généralisation de la méthode 

 de M. Poincaré, d'une nouvelle démonstration générale de la méthode de 

 la moyenne arithmétique de M. Neumann, d'une nouvelle démonstration 

 de ma méthode pour résoudre les équations d'équilibre dans la théorie de 

 l'élasticité, etc. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les ensembles de fonctions et les opé- 

 rations linéaires. Note de M. Maurice Fréchet, présentée par 

 M. Emile Picard. 



M. Riesz a montré (*) qu'on peyt généraliser quelques propriétés des 

 ensembles de fonctions continues en modifiant convenablement la défini- 

 tion des fonctions limites. 



Pour opérer dans le champ (R) des fonctions sommables (-) et de carrés 

 sommables, définies par exemple dans l'intervalle (0,2-), il considère une 

 telle fonction /(^) comme limite d'une suite de fonctions y"^(^^?), ..., 



fn{x)y ... lorsque l'expression i / / [/(^) ~ fn{'^)Y dx tend vers zéro 



avec - • Conformément aux dénominations plus générales de ma Thèse (^), 



j'appellerai cette quantité Vécart des deux f onctions f , f^^ et je considérerai, 

 après M. Riesz, que deux fonctions dont l'écart est nul ne sont pas 

 distinctes (quoiqu'elles ne soient pas égales en tout point). 



En appliquant cette définition, j'ai été amené aux deux résultats 

 suivants : 



1. Opérations linéaires. — En généralisant le champ de définition des 

 opérations linéaires considérées par M. Hadamard (^), je dirai qu'une 

 opération Uy est définie dans le champ (R) si, à toute fonction f{x) som- 

 mable et de carré sommable, on fait correspondre un nombre réel \Jf bien 

 déterminé. Je dirai qu'une telle opération est linéaire si : 



(*) Sur les ensembles de fonctions {Comptes rendus, 12 novembre 1906). 



(-) J'adopte ici la définition de l'intégrale de M. Lebesgue {Leçons sur l'intégra- 

 tion, p. 1 15). 



(^) Sur quelques points du Calcul fonctionnel {Rendiconti del Circolo di Mat. 

 di Palermo, t. XXII, 1906). 



(*) Je donne une autre généralisation dans un Mémoire qui va paraître. 



