SÉANCE DU 24 JUIN 1907. i4i5 



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2° On a U^= ^'ï^U;, lorsque l'écart i / / [/(^) — fn{^)Y dx tend 



vers zéro. 



Ceci étant, j'ai pu démontrer qu'à toute opération linéaire U^ définie dans 

 le champ (R), on peut faire correspondre une fonction u(^x) sommable et de 



f\x) u(^x)dx, 







Réciproquement, quelle que soit la fonction w(^) du champ (R), 

 l'expression précédente définit une opération linéaire dans le champ (R). 



2. Ensembles compacts de fonctions de (R). — J'ai montré dans ma 

 Thèse que, pour étendre aux ensembles abstraits les propriétés des 

 ensembles ponctuels, il y avait lieu de substituer, à la condition pour un 

 ensemble ponctuel d'être limité, la condition pour un ensemble abstrait 

 d'être compact. Un ensemble sera dit compact lorsque, de toute infinité 

 d'éléments de cet ensemble, on peut extraire une suite infinie ayant un 

 élément limite. Il faut alors (comme je l'ai fait dans ma Thèse) rechercher 

 pour chaque chisse concrète étudiée à quelle condition un ensemble 

 d'éléments de cette classe est compact. Le résultat permettra en parti- 

 culier de donner dans chaque cas une réponse précise à la généralisation 

 d'une question importante de M. Hadamard concernant les ensembles de 

 fonctions continues ('). 



En adoptant le point de vue de M. Riesz, j'ai été amené à rechercher 

 cette condition en ce qui concerne la classe (R). Pour cela, observons 

 que, à toute fonction sommable, on peut faire correspondre sa série de 

 Fourier 



/(a?) ,^ -â 4- (^a^ coso? -H b^ sino?) +. . .+ (a,^cosnx -+- bnSinnx) -h. . . , 



sans préjuger en quoi que ce soit la convergence de cette série. Récipro- 

 quement, cette série étant donnée, pour qu'il lui corresponde une fonc- 

 tion f{x) sommable et de carré sommable, il faut et il suffît, d'après 

 M. Riesz, que la série 2(afjH- b^) converge. 



Ceci étant, j'ai obtenu la condition cherchée sous la forme suivante : 

 Soit E un ensemble de fonctions sommables et de carrés sommables dans 

 l'intervalle (0,27;). Pour que de toute infinité de fonctions de E, on puisse 



(') Voir iiia Thèse, p. 87, 25, 



