SÉANCE DU 28 JANVIER 1907. l85 



égaux. Un changement de fonction 11 = ^/11' la ramène alors à la forme 

 simple 



(4) i^.=''^-' 



dx ây 



ou 



'^~~ [^2— r^li-t-^-^^^J'- 



L'équation (4) (q^ù appartient d'ailleurs au groupe des équations har- 

 moniques) est une équation de Moutard. Ce géomètre a montré que la 

 connaissance d'une solution particulière d'une telle équation permettait de 

 former une nouvelle équation de même type, toute solution de l'une don- 

 nant par quadrature une solution de l'autre. 



En appliquant à l'équation (4) la transformation de Moutard déduite de 

 la solution particulière o) = e", où 



„ = c,L-4£;±4±i + cj, 



1 -hx^ 



C^, C2 étant des constantes déterminées, on obtient une équation 



<)x oy 



Et A' n'est autre chose que l'expression h, dans laquelle p el q auraient 

 été remplacés par^; + i, ^ + 1. C'est donc l'équation relative au coeffi- 

 cient n„j+2,«' ^'i^' ^^ son égal n„+o,,;j. Par suite ces équations dérivent tontes 

 de celles qui sont relatives aux coefficients Yi^^ç^ et II, ,. 



Si l'on connaît la valeur du coefficient n'„,„ et de l'une de ses dérivées 

 le long d'une courbe, la méthode de Riemann le fera connaître en tout 

 point du plan des œy (c'est-à-dire pour des valeurs quelconques de a et [x), 

 pourvu qu'on sache déterminer une fonction V{œ, y, ^o' J^o)' solution par- 

 ticulière de l'équation (4) qui se réduise à une constante non nulle pour 

 x = oc^ ony=y^. D'ailleurs la solution de Riemann d'une équation (4) 

 permet de déterminer cette solution pour les équations qu'on déduit de la 

 primitive par la transformation de Moutard. 



Le changement de variable 



x'- 



C. R., 1907, !"■ Semestre. (T. CXLIV, N" 4.) 2^ 



