SÉANCE DU 28 JANVIER 1907. igi 



Pour démontrer le théorème énoncé, remarquons que {>", ç"~-r^, c' V\ ... 

 (où r-=^^'{') sont les produits linéairement indépendants du /i'*''"*' degré 

 en ^. Donc, s' a", a"~-, a"~'', ... sont des multipèdes généraux et indé- 

 pendants, 



(2) f^(ç)~a"-i^" + a"---v"--r- + a"-''-v"-'' r' -h . . . 



est la fonction gcnéiale entière et homogène du n^*""^^^ degré en v. En intro- 

 duisant la quadrique vf du vecteur (^ 



l'opérateur V- se transforme en l\dl[. — <)^^. En appliquant celui-ci k f„{v), 

 on trouve 



( 2 /^ + I ) ( 2 a"-- • ('"-- -h \ a"-' ' v''-" A- + . . .) 



qui ne peut s'annuler qu'avec les a""^, a" ', .... 



La fonction fn(v) est développée par (2) suivant des fonctions sphé- 

 riques H. 



2. Si la fonction sphériijue H^ est réelle, savoir leur /z-pède «" est réel, 

 il faut que la forme rt|"^ 2(2/1)^ Ax^^""^-/)^ de a" soit réalisante. Pour cela 

 il faut que 



A.„-x-(-i)^I>,, 



où Ax, x\x sont (les nombres complexes conjugués. Or le pro luit a"-h" est la 

 transposition (af" , hl")-'\ on a (') 



n 

 <7.= 



et, si l'on pose b"^ii'\ on trouve X èqaadon fondamentale 



n 



(3) Y„=a'W/"=;2(2^)-(A-Û,+ Â,Uj. 



(T = 



3. Le vecteur u ayant la longueur i, la forme uV^ du /z-pède u"^ peut être 

 écrite 



(4) (sinSre'Çç- - 2iCos2r^7i -^ siii 2rf-''-P-/i-)«=2(2/ï)xUxE'"-V. 



(') On peut définir ici de la manière la plus simple deux, fondions sphériques H„ 

 comme conjuguées (Maxwell), si le produit scalaire de leurs «-pèdes s'annule ou, 

 autrement dit, si les formes de ces multipèdes sont apolaires. 



