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Les coefficients de celle forme donnent [selon (3)] le système des fonctions 

 ■sphèriques dites adjoinles 0|^'cos(7<p, 6)^'sinc(p (normées à la Maxwell )/9«r 



( 5 ) i"-' u„_, = 0';' 6-? , / " I u„ + ( - 1 )" ïï J = 2 0;; ' . 



Par conséquent, et par (3), on déduit tout de ^mie T expression deY„ et 

 de (3) (en posant l = n = 1) le développement de (sinS-coscp — /cosS-)" 

 j)ar ces /onctions adjointes. 



On a aussi i"-^U„_,= (/,, ul"y\ oùf= (- /)« ^^«-%«+^ Donc la fonc- 

 tion sphériquc 0)^*e"^* possède le /?-pède correspondant à la forme f^ : 



Puisque la forme /^ admet la transformation 



in 



y] 



l = e''l', r> = e 



les or-pèdes réels a*^, b'^ admettent la rotation de l'angle ^^ par rapport à 



l'axe <?3. Ils contiennent g vecteurs orthogonaux à e.^ qui sont les rayons de 

 la moitié d'un polygone régulier (*). 



4. Si le //-pède «" contient n lois le vecteur 11' de longueui" i , tous les Ax 

 de sa forme s'annulent par a' =^ e^ (tlont la quadriqiie est — 2.i'^-n) ex- 



cepté A,( = 7— "V^^* Donc on a, d'après (3) et (5), 



(6) /^"w."= 2«.-«[u,-h (- i)"ïJ,j = - ""'(^;/)''''^^ 



où y est l'angle des vecteurs //, a'. Par conséquent u'"'u'^ est, à un facteur 

 numéricjue \nè<, h\ fonction 1\(cosy) de Legendre. 



Le théorème dit d'addition de celle fonction résulte immédiatement 

 de (3) et (4). 



5. On trouve (-) le développement mnwew m du produit de deux fonctions 

 sphèriques H„, H,„ avec les multipèdes a", h'" suivant de telles fonctions 

 H„^.,„_op avec les multipèdes r^-p^"* [donc {n -\- i) fonctions, si n'^m\ ; 



(') Il suit aussi immédiatement (du n" 2, /. c.) que leS fonctions des multipèdes 

 ^i~^^2' e'l~^~^-e^e^ forment un système de fonctions H linéairement indépendantes 

 {cf. Thomson et Tait). 



(■■') En appliquant une modification du développement en série deClebscli et Gordan 

 el une foniiule de IMM. Gordnn el ])ei'z,()laii. 



