SÉANCE DU 28 JANVIER 1907. Iq3 



Oulre cette droite PP,, il y a dans le pian IIp une autre droite à consi- 

 dérer, c'est la droite Dj, conjuguée dans le complexe linéaire de la tane^ente 

 en P à la trajectoire de ce point. Dp est aussi la caractéristique du plan du 

 corps S avec lequel n,> coïncide à l'instant considéré. 



Les droites Dp et PP, se coupent en un point P, que nous appellerons 

 V associé du point P et dont les coordonnées s'expriment aisément en fonc- 

 tions rationnelles des coordonnées du point P. 



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3. Ce point P, joue -un rôle essentiel dans )a question qui nous occu])e. 



Si une courbe C louche en P son enveloppe C, le plan normal commun 

 à ces courbes est précisément le plan IIp normal à la trajectoire d'entraî- 

 nement du point P. Les caractéristiques A, A' du plan IIp, selon qu'on le 

 déplace dans le corps S ou dans l'espace fixe S', sont les axes de courbure 

 des courbes Cet C . La connaissance de ces axes entraine à la fois celle des 

 plans osculateurs et celle des centres de courbure. Or on trouve à cet 

 égard les résultats suivants, qui rappellent la correspondance homogra- 

 phique existant entre les centres de courbure d'une courbe et de son enve- 

 loppe, sur une normale donnée, dans le cas du mouvement d'une figure 

 plane. 



Théorème L — Les axes de courbure A et A' passent par le point P, , associé 

 du point de contact P. 



(On remarquera que l'assujettissement pour l'axe A de la courbe C de 

 passer par P, est une conséquence du caractère particulier de ces courbes.) 



Il y a une infinité de courbes C qui touchent au même point P leur enve- 

 loppe C, en sorte que toute droite A issue de P, dans le plan IIp est l'axe 

 de courbure d'une courbe C (et même d'une infinité). L'axe de cour- 

 bure A' de C correspond à A en vertu du théorème suivant : 



Théorème IL — Les axes A, M se correspondent homo graphiquement autour 

 du point P, : cette homographie est singulière, car elle rï a qu'un rayon double 

 qui est la droite Dp. 



Il en résulte que si 8, G' sont les angles de A, A' avec la droite Dp on a 



_î i_ _ /._ . 



langO' langO ~ ' ~~ Const.; 



ou encore, ce qui est la même chose, A, A' déterminent sur la parallèle PQ 

 à Dp un vecteur II' de grandeur et de sens invariables. Les projections de II' 

 se déterminent aisément en fonctions rationnelles des coordonnées du 

 point P. 



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