SÉANCE DU 4 FÉVRIER I907. 255 



et pour les oc assez près de x on ait s{.x) — s(x') <!yi. La fonction semi- 

 continue générale, même dans le cas où ses valeurs sont toutes com[)rises 

 entre des limites finies, n'est intégrable dans aucun intervalle qiio qu'elle 

 ait des points de continuité et au moins un point de minimum absolu dans 

 chaque intervalle. Étant donnée une constante d, l'ensemble des points x 

 pour lesquels s(x)^d est relativement parfait [propriété I de Sy^x)]. 

 Posons 



m— i 



2 1 (jyv. -yjT + [/(^.7y+. ) —A^^ yj)]' P = '^(^)' 



/— 1 







On sait que la limite de m(x) pour m =ao, y^^, — yj = o, est la lon- 

 gueur de la section a? = const. de/, et la longueur n'est pas mouidre que 

 m{xj. 



Soient Sy(x) la longueur de la section x= const., Sj;(y) relie de la sec- 

 tion y j= const. ; ^^. est une fonction semi-continue générale n'ayant au- 

 cune condition restrictive snuli Sy(x)^a. 



Théorèmes. — Soit S posai/ et donné à l'avance. On ne peut trouver que 

 dans le cas où s y est continue dans l' intervalle total (o, a), m et les Vj tels que 

 l'on ait Sy {oc) — m(^x) <C^%. Soit g le minimum absolu de Sy dans un inter- 

 valle {x y x") et soit g fini. On peut trouver m el les jj de manière que dans 

 {x\ x") on ait (propriété II de s y) 



g — m{x) < S. 

 t et T et la somme des deux intégrales par défaut 



'' Sy{x)dx, / s^{j)dy 



"^0 



sont à la fois finies ou infinies. 



5. A l'aide des propriétés I et II de Sy on peut démontrer le lemme prin-' 

 cipal pour la démonstration du théorème T = /. 



6. vSoient E et F deux points quelconques de f. Dans ce qiu suit je me 

 borne à la classe de ^ pour laquelle il existe un nombre fini positif G, de 

 sorte que la tangente trigonomélriqiie de l'angle aigu formé par la droite EF 

 el par le plan or^ est toujours moindre que G. Il est connu qu'en général 



